У>=х²-2х-3 решить неравенства у<х²+8х+12

Question 1

Задача Задача №1669464

А

Аноним

30 сентября 2024 02:59 · публичный вопрос

А

Аноним 30 сентября 2024 02:59

У>=х²-2х-3 решить неравенства у<х²+8х+12

Answer

Чтобы решить систему неравенств:

Первое неравенство: \( y \geq x^2 - 2x - 3 \)

Начнем с поиска границы этого неравенства, то есть функции \( y = x^2 - 2x - 3 \).

Для нахождения вершины параболы, представленной уравнением, можно использовать формулу \( x = -\frac{b}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = -2 \): \[ x = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1 \]

Теперь найдем значение \( y \) при \( x = 1 \): \[ y = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 \]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (1, -4) \). Теперь найдем корни уравнения \( x^2 - 2x - 3 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]

Корни: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 4}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 4}{2} = -1 \]

Теперь неравенство \( y \geq x^2 - 2x - 3 \) определяет область выше или на кривой. Парабола открыта вверх.
Второе неравенство: \( y < x^2 + 8x + 12 \)

Аналогично, начнем с нахождения границы этого неравенства, функции \( y = x^2 + 8x + 12 \).

Вычислим вершину: \[ x = -\frac{8}{2} = -4 \] Тогда высота: \[ y = (-4)^2 + 8 \cdot (-4) + 12 = 16 - 32 + 12 = -4 \]

Корни уравнения \( x^2 + 8x + 12 = 0 \): \[ D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16 \]

Корни: \[ x_1 = \frac{-8 + 4}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-8 - 4}{2} = -6 \]

Эта парабола также открыта вверх, и неравенство \( y < x^2 + 8x + 12 \) определяет область ниже этой кривой.

Теперь необходимо найти область, где оба неравенства выполняются одновременно.

Области:

Выше параболы \( y = x^2 - 2x - 3 \)
Ниже параболы \( y = x^2 + 8x + 12 \)

Лучший способ визуализировать это — построить обе параболы на одной оси координат. Перекресток двух кривых будет помочь понять, где система неравенств выполняется совместно. Основные точки пересечения можно найти, приравняв \( x^2 - 2x - 3 = x^2 + 8x + 12 \), а затем решив полученное уравнение.

В дальнейшем, используя графики, можно определить нужные интервалы для \( x \) и найти соответствующие значения \( y \).

Если вам нужно больше информации или подчеркнуть решения, пожалуйста, сообщите!

Question 2

у>=х²-2х-3 решить неравенства у<х²+8х+12

Answer

Чтобы решить систему неравенств: 1. **Первое неравенство:** \( y \geq x^2 - 2x - 3 \) Начнем с поиска границы этого неравенства, то есть функции \( y = x^2 - 2x - 3 \). Для нахождения вершины параболы, представленной уравнением, можно использовать формулу \( x = -\frac{b}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = -2 \): \[ x = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1 \] Теперь найдем значение \( y \) при \( x = 1 \): \[ y = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 \] Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (1, -4) \). Теперь найдем корни уравнения \( x^2 - 2x - 3 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \] Корни: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 4}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 4}{2} = -1 \] Теперь неравенство \( y \geq x^2 - 2x - 3 \) определяет область выше или на кривой. Парабола открыта вверх. 2. **Второе неравенство:** \( y < x^2 + 8x + 12 \) Аналогично, начнем с нахождения границы этого неравенства, функции \( y = x^2 + 8x + 12 \). Вычислим вершину: \[ x = -\frac{8}{2} = -4 \] Тогда высота: \[ y = (-4)^2 + 8 \cdot (-4) + 12 = 16 - 32 + 12 = -4 \] Корни уравнения \( x^2 + 8x + 12 = 0 \): \[ D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16 \] Корни: \[ x_1 = \frac{-8 + 4}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-8 - 4}{2} = -6 \] Эта парабола также открыта вверх, и неравенство \( y < x^2 + 8x + 12 \) определяет область ниже этой кривой. Теперь необходимо найти область, где оба неравенства выполняются одновременно. **Области:** - Выше параболы \( y = x^2 - 2x - 3 \) - Ниже параболы \( y = x^2 + 8x + 12 \) Лучший способ визуализировать это — построить обе параболы на одной оси координат. Перекресток двух кривых будет помочь понять, где система неравенств выполняется совместно. Основные точки пересечения можно найти, приравняв \( x^2 - 2x - 3 = x^2 + 8x + 12 \), а затем решив полученное уравнение. В дальнейшем, используя графики, можно определить нужные интервалы для \( x \) и найти соответствующие значения \( y \). Если вам нужно больше информации или подчеркнуть решения, пожалуйста, сообщите!