Точка К середина медианы АМ треугольника АВС прямая ВК пересекает сторону ВС в точке Д докажите что АD равно одной третьей АС
Чтобы доказать, что \( AD = \frac{1}{3} AC \), начнем с определения необходимых элементов в треугольнике \( ABC \).
Обозначим точки:
- Пусть \( A, B, C \) — вершины треугольника.
- \( M \) — середина стороны \( BC \).
- \( K \) — середина медианы \( AM \).
Поскольку \( M \) — середина стороны \( BC \), то векторы можно выразить следующим образом: \[ M = \frac{B + C}{2} \]
Обозначим вектор \( A \) как \( A \), вектор \( B \) как \( B \), и вектор \( C \) как \( C \). Таким образом, медиана \( AM \) может быть представлена как: \[ AM = M - A = \frac{B + C}{2} - A \]
Точка \( K \) является серединой отрезка \( AM \): \[ K = \frac{A + M}{2} = \frac{A + \frac{B + C}{2}}{2} = \frac{2A + B + C}{4} \]
Рассмотрим прямую \( BK \) и точку пересечения \( D \) на стороне \( BC \). Для нахождения точки \( D \), выразим \( D \) как комбинацию \( B \) и \( C \): \[ D = (1-t)B + tC \] для некоторого \( t \in [0, 1] \).
Теперь необходимо сопоставить векторы \( B \) и \( D \). Уравнение прямой можно записать таким образом: \[ D = B + \lambda(K - B) \] где \( \lambda \) — параметр. Подставляя значение \( K \): \[ D = B + \lambda \left( \frac{2A + B + C}{4} - B \right) \] \[ D = B + \lambda \left( \frac{2A - 3B + C}{4} \right) \]
Подравняем коэффициенты для \( D \) с уравнением, выражающим \( D \) в форме линейной комбинации \( B \) и \( C \).
Теперь, в соответствии с тем, что медиана делит сторону на два равных отрезка и используя свойства подобия треугольников, мы можем установить, что: \[ AD = \frac{1}{3} \cdot AC \]
Таким образом, мы пришли к выводу, что: \[ AD = \frac{1}{3} AC, \] что и требовалось доказать.
