X-3/x-2+x-2/x-3= 2 1/2

Давайте решим уравнение: \(\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 3} = 2 \frac{1}{2}\).

Сначала перепишем \(2 \frac{1}{2}\) в виде несократимой дроби:

\[2 \frac{1}{2} = \frac{5}{2}.\]

Теперь у нас есть уравнение:

\[\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 3} = \frac{5}{2}.\]

Сложим дроби с одинаковыми знаменателями. Найдем общий знаменатель:

\[ \text{Общий знаменатель} = (x - 2)(x - 3). \]

Получим:

\[\frac{(x - 3)^2 + (x - 2)^2}{(x - 2)(x - 3)} = \frac{5}{2}.\]

Теперь раскроем скобки:

\[(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9,\] \[(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4.\]

Сложим эти два выражения:

\[(x - 3)^2 + (x - 2)^2 = (x^2 - 6x + 9) + (x^2 - 4x + 4) = 2x^2 - 10x + 13.\]

Теперь подставим это обратно в уравнение:

\[\frac{2x^2 - 10x + 13}{(x - 2)(x - 3)} = \frac{5}{2}.\]

Теперь умножим обе стороны уравнения на \(2(x - 2)(x - 3)\) для того, чтобы избавиться от дробей:

\[2(2x^2 - 10x + 13) = 5(x - 2)(x - 3).\]

Упрощаем левую сторону:

\[4x^2 - 20x + 26.\]

Теперь правую сторону раскрываем:

\[5((x - 2)(x - 3)) = 5(x^2 - 5x + 6) = 5x^2 - 25x + 30.\]

Теперь у нас есть уравнение:

\[4x^2 - 20x + 26 = 5x^2 - 25x + 30.\]

Переносим все на одну сторону:

\[0 = 5x^2 - 25x + 30 - 4x^2 + 20x - 26.\]

Упрощаем:

\[0 = x^2 - 5x + 4.\]

Теперь можем решить это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(1)(4) = 25 - 16 = 9.\]

Так как дискриминант положительный, у нас есть два действительных корня:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 3}{2}.\]

Это дает нам:

\[x_1 = \frac{8}{2} = 4,\] \[x_2 = \frac{2}{2} = 1.\]

Таким образом, решения уравнения:

\[x = 4 \quad \text{и} \quad x = 1.\]

Это и есть ответы на ваше уравнение! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать.