X-3/x-2 + x-2/x-3 = 2 1/2

Чтобы решить уравнение \( \frac{x-3}{x-2} + \frac{x-2}{x-3} = 2 \frac{1}{2} \), начнем с преобразования правой части уравнения.

\[ 2 \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \]

Теперь уравнение выглядит так:

\[ \frac{x-3}{x-2} + \frac{x-2}{x-3} = \frac{5}{2} \]

Следующим шагом является объединение дробей с левой стороны. Для этого найдем общий знаменатель, который будет равен \( (x-2)(x-3) \):

\[ \frac{(x-3)(x-3) + (x-2)(x-2)}{(x-2)(x-3)} = \frac{5}{2} \]

Теперь раскроем скобки в числителе:

\[ (x-3)(x-3) = x^2 - 6x + 9 \] \[ (x-2)(x-2) = x^2 - 4x + 4 \]

Сложим эти выражения:

\[ x^2 - 6x + 9 + x^2 - 4x + 4 = 2x^2 - 10x + 13 \]

Теперь у нас получается:

\[ \frac{2x^2 - 10x + 13}{(x-2)(x-3)} = \frac{5}{2} \]

Перекрестным умножением мы можем избавиться от дробей:

\[ 2(2x^2 - 10x + 13) = 5(x^2 - 5x + 6) \]

Теперь раскрываем скобки:

\[ 4x^2 - 20x + 26 = 5x^2 - 25x + 30 \]

Теперь соберем все элементы на одной стороне:

\[ 4x^2 - 20x + 26 - 5x^2 + 25x - 30 = 0 \]

Приведем подобные:

\[ -x^2 + 5x - 4 = 0 \]

Умножим на -1, чтобы привести уравнение к стандартному виду:

\[ x^2 - 5x + 4 = 0 \]

Теперь можно решить это квадратное уравнение, используя формулу:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Здесь \( a = 1, b = -5, c = 4 \):

\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} \] \[ x = \frac{5 \pm 3}{2} \]

Теперь найдем два значения:

1. \( x = \frac{8}{2} = 4 \)

2. \( x = \frac{2}{2} = 1 \)

Таким образом, у нас есть два решения: \( x = 4 \) и \( x = 1 \).

Не забудьте проверить, что оба значения не делают знаменатели равными нулю. Знаменатели \( x - 2 \) и \( x - 3 \) равны нулю при \( x = 2 \) и \( x = 3 \), так что оба найденных значения допустимы.

Если у вас есть еще вопросы, с радостью помогу!