3sin²x - cos²x = 0

Чтобы решить уравнение \(3\sin^2 x - \cos^2 x = 0\), начнем с использования основного тригонометрического тождества, которое связывает синус и косинус:

\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1. \]

Мы можем выразить \(\cos^2 x\) через \(\sin^2 x\):

\[ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x. \]

Теперь подставим это в уравнение:

\[ 3\sin^2 x - (1 - \sin^2 x) = 0. \]

Раскроем скобки:

\[ 3\sin^2 x - 1 + \sin^2 x = 0. \]

Теперь объединим подобные слагаемые:

\[ 4\sin^2 x - 1 = 0. \]

Переносим 1 на правую сторону:

\[ 4\sin^2 x = 1. \]

Теперь делим обе стороны на 4:

\[ \sin^2 x = \frac{1}{4}. \]

Теперь находим \(\sin x\):

\[ \sin x = \pm \frac{1}{2}. \]

Зная значения синуса, можем определить углы \(x\). Синус равен \(\frac{1}{2}\) на углах:

\[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \]

где \(k\) — любое целое число.

Синус равен \(-\frac{1}{2}\) на углах:

\[ x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi. \]

Таким образом, полное решение уравнения:

\[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi. \]

Также можно представить как:

\[ x = \frac{\pi}{6} + k\pi \quad \text{для} \quad k \in \mathbb{Z}. \]

Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме или другим материалам, не стесняйтесь спрашивать!