Имеется прямоугольник со сторонами 7 и 10 см. Большую его сторону уменьшили на а см, а меньшую увеличили на такое же число см. При каком значении а площадь полученного прямоугольника окажется наибольшей?
Для решения задачи, давайте обозначим размеры прямоугольника: его стороны равны 10 см (большая сторона) и 7 см (меньшая сторона). После изменений у нас получится новый прямоугольник с размерами:
- Большая сторона: \(10 - a\) см
- Меньшая сторона: \(7 + a\) см
Теперь запишем формулу для площади нового прямоугольника \(S\):
\[ S(a) = (10 - a)(7 + a) \]
Раскроем скобки:
\[ S(a) = 70 + 10a - 7a - a^2 = 70 + 3a - a^2 \]
Теперь у нас есть квадратная функция \(S(a) = -a^2 + 3a + 70\). Для нахождения максимума данной функции необходимо найти ее вершину. Вершина параболы \(y = ax^2 + bx + c\) находится по формуле:
\[ a = -\frac{b}{2a} \]
Здесь \(a = -1\) (коэффициент при \(a^2\)) и \(b = 3\) (коэффициент при \(a\)). Подставим значения в формулу:
\[ a = -\frac{3}{2 \cdot (-1)} = \frac{3}{2} = 1.5 \]
Теперь подставим \(a = 1.5\) в размеры прямоугольника, чтобы убедиться, что они подходят:
- Большая сторона: \(10 - 1.5 = 8.5\) см
- Меньшая сторона: \(7 + 1.5 = 8.5\) см
Таким образом, при \(a = 1.5\) см размеры нового прямоугольника будут равными, то есть квадрат со стороной 8.5 см, и площадь будет максимальной.
Итак, площадь нового прямоугольника будет максимальной при значении \(a = 1.5\) см.
