Дана правильная десятиугольная призма А1A2 … А10B B2 … В10. Некоторая плоскость а пересекает п её рёбер, не проходя ни через одну из точек А1, … , А10, В1, … , В10. (а) Какое наименьшее натуральное значение может принимать п? Ответ:3 (б) Какое наибольшее натуральное значение может принимать п?Ответ:12

Рассмотрим правильную десятиугольную призму, у которой основание является правильным десятиугольником. В данной призме есть 10 рёбер в основании (соединяющие вершины A1, A2, ..., A10) и 10 вертикальных рёбер, соединяющих вершины основания с соответствующими вершинами верхнего основания (B1, B2, ..., B10). Таким образом, всего в призме есть 20 рёбер.

(a) Чтобы понять, какое наименьшее натуральное значение может принимать количество рёбер, которые пересекает плоскость а, давайте рассмотрим, как плоскость может проходить через призму. Плоскость может пересекать три рёбер, если, например, она проходит через одно из рёбер в основании и два вертикальных ребра. В таком случае мы будем иметь три пересечения. Таким образом, наименьшее значение, которое может принимать n, равно 3.

(b) Теперь о наибольшем натуральном значении n. Плоскость может пересекать все 10 рёбер в основании и 2 рёбра из вертикального соединения, только не касаясь ни одного из вершин A1, A2, ..., A10, B1, ..., B10. Это даст нам максимальное значение n равным 12 (10 из основания и 2 вертикальных).

Таким образом, ответы на ваши вопросы будут:

(a) Наименьшее значение n: 3.
(b) Наибольшее значение n: 12.