Задача 11.4. На урок физкультуры пришли девочки и мальчики. У учителя было 47 волейбольных мячей. Сначала он выдал каждой девочке по одному мячу, а все оставшиеся мячи поделил поровну между мальчиками (при этом каждый ребёнок получил хотя бы один мяч). Затем учитель поделил всех мальчиков на группы, одинаковые по количеству человек (возможно, группа была всего одна). В каждую группу он захотел добавить по одной девочке, но девочек оказалось на одну больше, чем групп. (а) (2 балла) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть на уроке? (б) (2 балла) Сколько девочек могло быть на уроке? Укажите все возможные варианты.

Давайте разберёмся с задачей по пунктам.

(а) Начнём с того, что у нас есть 47 волейбольных мячей. Предположим, что количество девочек обозначим как \( d \), а количество мальчиков — как \( m \).

Учитель сначала выдал по одному мячу каждой девочке. Следовательно, на девочек ушло \( d \) мячей, и осталось \( 47 - d \) мячей.

Эти оставшиеся мячи он поделил поровну между мальчиками, при этом все мальчики получили хотя бы по одному мячу. Это значит, что количество мальчиков \( m \) должно делить остаток мячей \( 47 - d \) нацело.

Итак, у нас есть два условия:

1. \( 47 - d \geq m \) (каждый мальчик получил хотя бы один мяч)
2. \( m \mid (47 - d) \)

Теперь перейдем к условию с группами. Учитель хочет добавить по одной девочке в каждую группу мальчиков, но девочек оказалось больше на одну, чем количество групп. Обозначим количество групп как \( g \). Тогда следует уравнение: \( d = g + 1 \) (где \( g \) — количество групп).

Из этого уравнения видно, что количество мальчиков в группах считается как \( m = g \cdot k \), где \( k \) — количество мальчиков в каждой группе.

Теперь подставим \( d = g + 1 \) в условие о мячах:

1. \( 47 - (g + 1) \geq g \) или \( 46 \geq 2g \). Следовательно, \( g \leq 23 \).

Теперь найдём максимальное количество мальчиков \( m \): Рассмотрим \( g \) от 1 до 23 и найдем соответствующее \( d \). Для каждого \( g \):

• \( d = g + 1 \)
• Ищем \( m = g \cdot k \) и проверяем, чтобы \( 47 - d = 46 - g \) делилось на \( m \).

Проверим несколько значений, чтобы определить максимальное \( m \):

• Если \( g = 23 \), тогда \( d = 24 \), \( 47 - 24 = 23 \). \( m \) здесь равно 23 (что возможно).
• Если \( g = 22 \), тогда \( d = 23 \), \( 47 - 23 = 24 \). \( m = 22 \) (что возможно).
• И так далее, пока не проверим все значения.

Наибольшее количество мальчиков будет у нас \( m = 23 \).

(б) Теперь найдём все возможные варианты \( d \):

• \( g = 1 \) → \( d = 2 \) → \( m = 1 \)
• \( g = 2 \) → \( d = 3 \) → \( m = 2 \)
• \( g = 3 \) → \( d = 4 \) → \( m = 3 \)
• …
• \( g = 23 \) → \( d = 24 \) → \( m = 23 \)

Таким образом, все возможные варианты количества девочек \( d \) от 2 до 24:

• \( d = 2, 3, 4, 5, ..., 24 \) (всего 23 варианта).

Результаты: (а) Максимальное количество мальчиков — 23. (б) Возможные количества девочек — 2, 3, 4, ..., 24.