(t^2-2t)^2-3=2(t^2-2t)
Чтобы решить уравнение \((t^2 - 2t)^2 - 3 = 2(t^2 - 2t)\), начнём с введения обозначений для упрощения. Обозначим \(x = t^2 - 2t\). Таким образом, уравнение перепишется как:
\[ x^2 - 3 = 2x \]
Теперь перенесём все слагаемые в одну сторону уравнения:
\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]
Это квадратное уравнение можно решить с помощью формулы для квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -3\). Подставим значения в формулу:
- Вычислим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]
- Находим корни:
\[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 4}{2} \]
Теперь вычислим два возможных значения для \(x\):
\[ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
\[ x_2 = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]
Теперь вернёмся к нашему обозначению \(x = t^2 - 2t\). Это даёт два уравнения:
- \(t^2 - 2t = 3\)
- \(t^2 - 2t = -1\)
Решаем первое уравнение:
\[ t^2 - 2t - 3 = 0 \]
Применяем ту же формулу, что и раньше:
\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]
Следовательно, корни будут:
\[ t = \frac{2 \pm 4}{2} \]
Находим:
\[ t_1 = \frac{6}{2} = 3 \] \[ t_2 = \frac{-2}{2} = -1 \]
Решаем второе уравнение:
\[ t^2 - 2t + 1 = 0 \]
Здесь дискриминант равен:
\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0 \]
В этом случае, у нас есть один корень:
\[ t = \frac{2}{2} = 1 \]
Итоговые решения:
Таким образом, у нас есть три значения для \(t\):
\[ t_1 = 3, \quad t_2 = -1, \quad t_3 = 1 \]
Вы можете проверить каждое из этих значений, подставив их обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они действительно решают уравнение. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно объяснение по другим темам, не стесняйтесь спрашивать!
