3. (1 балл) радиус вписанной в ромб окружности равен 2, острый угол ромба равен 30°. найдите площадь ромба.
Чтобы найти площадь ромба, зная радиус вписанной окружности и острый угол, можно воспользоваться формулой площади ромба через радиус вписанной окружности и периметр.
Площадь ромба \( S \) можно выразить как:
\[ S = r \cdot P \]
где \( r \) – радиус вписанной окружности, а \( P \) – периметр ромба.
Периметр ромба рассчитывается по формуле:
\[ P = 4a \]
где \( a \) – длина одной стороны ромба.
Для нахождения длины стороны ромба \( a \) воспользуемся соотношением между радиусом вписанной окружности и стороной ромба. Радиус \( r \) вписанной окружности ромба также равен:
\[ r = \frac{a \cdot \sin(\alpha)}{2} \]
где \( \alpha \) – острый угол ромба.
Подставляя известные значения, получаем:
Зная \( r = 2 \) и \( \alpha = 30^\circ \): \[ 2 = \frac{a \cdot \sin(30^\circ)}{2} \]
Поскольку \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \), то уравнение будет выглядеть так: \[ 2 = \frac{a \cdot \frac{1}{2}}{2} \implies 2 = \frac{a}{4} \implies a = 8 \]
Теперь мы можем рассчитать периметр:
\[ P = 4a = 4 \cdot 8 = 32 \]
Теперь подставим значения в формулу для площади:
\[ S = r \cdot P = 2 \cdot 32 = 64 \]
Таким образом, площадь ромба составляет \( 64 \) квадратных единиц.
