Задача 11.5. Клетчатую таблицу назовём разнообразной, если её клетки раскрашены в чёрный и белый цвет так, что во всех строках разное количество чёрных клеток, а также во всех столбцах разное количество чёрных клеток. Пару натуральных чисел (т, п) назовём подходящей, если существует разнообразная таблица т х п, причём 10 < m < 20 и 10 < n < 20. Сколько существует подходящих пар? (Если числа m и n различны, то пары (m, n) и (n, m) итаются различными.

Давайте рассмотрим вашу задачу. Мы ищем такие пары натуральных чисел \( (m, n) \), которые соответствуют условиям: \( 10 < m < 20 \) и \( 10 < n < 20 \). Более того, нам нужна клетчатая таблица \( m \times n \) с уникальным количеством черных клеток в каждой строке и каждом столбце.

1. Определим диапазон: В соответствии с условиями, \( m \) и \( n \) могут принимать значения от 11 до 19 включительно. Это даёт нам следующие возможные значения:

   • \( m = 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 \) — всего 9 возможных значений.
   • \( n = 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 \) — также 9 возможных значений.

2. Подсчет подходящих пар: Каждая пара \( (m, n) \) считается подходящей, если \( m \) и \( n \) различны. Общее количество уникальных пар \( (m, n) \) можно посчитать следующим образом:

   • Если \( m \) и \( n \) могут быть равны, количество пар будет \( 9 \times 9 = 81 \) (включая пары вида \( (m, m) \)).
   • Однако нам нужно исключить пары, где \( m = n \). В нашем случае таких пар 9: \( (11, 11), (12, 12), (13, 13), (14, 14), (15, 15), (16, 16), (17, 17), (18, 18), (19, 19) \).

Таким образом, число пар с различными \( m \) и \( n \):

\[ 81 - 9 = 72 \]

Так как пары \( (m, n) \) и \( (n, m) \) рассматриваются как разные, каждый из 72 случаев нужно умножить на 2:

\[ 72 \times 2 = 144 \]

Таким образом, существует 144 подходящих пары \( (m, n) \) в заданном диапазоне.