1. Найдите расстояние от точки М, до плоскости, проходящей через точки M3, M3, M3, если М,(-3,4,-7),M3(1,5,-4), M3(-5,-2,0),M,(-12,7,-1).

Чтобы найти расстояние от точки \( M(-3, 4, -7) \) до плоскости, проходящей через три точки \( M_1(1, 5, -4) \), \( M_2(-5, -2, 0) \) и \( M_3(-12, 7, -1) \), воспользуемся следующим методом:

1. Найдем векторные координаты векторов, образующих плоскость. Для этого определим два вектора, используя заданные точки:

   \[ \vec{u} = M_2 - M_1 = (-5 - 1, -2 - 5, 0 - (-4)) = (-6, -7, 4) \]

   \[ \vec{v} = M_3 - M_1 = (-12 - 1, 7 - 5, -1 - (-4)) = (-13, 2, 3) \]

2. Найдем нормальный вектор плоскости \( \vec{n} \), взяв векторное произведение \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \):

   \[ \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -6 & -7 & 4 \\ -13 & 2 & 3 \end{vmatrix} \]

   Расчитаем определитель:

   \[ \vec{n} = \hat{i} \begin{vmatrix} -7 & 4 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} -6 & 4 \\ -13 & 3 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} -6 & -7 \\ -13 & 2 \end{vmatrix} \]

   Вычислим каждый из определителей:

   \[ \hat{i}((-7)(3) - (4)(2)) = \hat{i}(-21 - 8) = -29\hat{i} \] \[ -\hat{j}((-6)(3) - (4)(-13)) = -\hat{j}(-18 + 52) = -34\hat{j} \] \[ \hat{k}((-6)(2) - (-7)(-13)) = \hat{k}(-12 - 91) = -103\hat{k} \]

   Таким образом, нормальный вектор:

   \[ \vec{n} = (-29, -34, -103) \]

3. Запишем уравнение плоскости в нормальной форме: Если нормальный вектор \(\vec{n} = (a, b, c)\), и имеется точка \( M_1(x_0, y_0, z_0) \), то уравнение плоскости можно записать как:

   \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \]

   Подставим значения:

   \[ -29(x - 1) - 34(y - 5) - 103(z + 4) = 0 \]

   Преобразуем:

   \[ -29x + 29 - 34y + 170 - 103z - 412 = 0 \]

   Пользуясь вышеуказанным, уравнение плоскости можно записать как:

   \[ -29x - 34y - 103z - 213 = 0 \]

4. Теперь найдем расстояние от точки M до этой плоскости. Используем формулу расстояния от точки до плоскости:

   \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

   где \( A = -29, B = -34, C = -103, D = -213\), и \( M(-3, 4, -7) \) имеет координаты \( (x_0, y_0, z_0) \).

   Подставим значения в формулу:

   \[ d = \frac{|-29(-3) - 34(4) - 103(-7) - 213|}{\sqrt{(-29)^2 + (-34)^2 + (-103)^2}} \]

   Сначала считаем числитель:

   \[ -29(-3) = 87, \quad -34(4) = -136, \quad -103(-7) = 721, \quad -213 = -213 \]

   Тогда:

   \[ |87 - 136 + 721 - 213| = |459| = 459 \]

   Теперь посчитаем знаменатель:

   \[ \sqrt{(-29)^2 + (-34)^2 + (-103)^2} = \sqrt{841 + 1156 + 10609} = \sqrt{13606} \approx 116.66 \]

5. Теперь вычислим расстояние:

   \[ d = \frac{459}{116.66} \approx 3.93 \]

Таким образом, расстояние от точки \( M \) до плоскости примерно равно \( 3.93 \) единиц.