В параллелограмме авсд точка е- середина стороны ад точка г- середина стороны вс выразите векторы ЕС и аг через векторы дс = а и б= ав
Чтобы выразить векторы \( \overrightarrow{EC} \) и \( \overrightarrow{AG} \) через векторы \( \overrightarrow{DC} \) и \( \overrightarrow{AB} \), начнем с определения их координат.
Пусть вершины параллелограмма \( A, B, C, D \) имеют следующие векторные представления:
- \( \overrightarrow{A} = \vec{a} \)
- \( \overrightarrow{B} = \vec{a} + \vec{b} \)
- \( \overrightarrow{C} = \vec{b} \)
- \( \overrightarrow{D} = \vec{0} \)
Теперь найдем координаты точек \( E \) и \( G \):
Точка \( E \) - середина стороны \( AD \): \[ \overrightarrow{E} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{D}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{0}}{2} = \frac{\vec{a}}{2} \]
Точка \( G \) - середина стороны \( BC \): \[ \overrightarrow{G} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} = \frac{(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{b}}{2} = \frac{\vec{a} + 2\vec{b}}{2} \]
Теперь найдем вектор \( \overrightarrow{EC} \): \[ \overrightarrow{EC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{E} = \vec{b} - \frac{\vec{a}}{2} = \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{a} \]
Теперь найдем вектор \( \overrightarrow{AG} \): \[ \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{G} - \overrightarrow{A} = \left( \frac{\vec{a} + 2\vec{b}}{2} \right) - \vec{a} = \frac{\vec{a} + 2\vec{b} - 2\vec{a}}{2} = \frac{-\vec{a} + 2\vec{b}}{2} \]
Итак, выражения для векторов: \[ \overrightarrow{EC} = \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{a} \] \[ \overrightarrow{AG} = \frac{-\vec{a} + 2\vec{b}}{2} \]
Теперь выразим \( \overrightarrow{EC} \) и \( \overrightarrow{AG} \) через данные векторы \( \overrightarrow{DC} = \vec{a} \) и \( \overrightarrow{AB} = \vec{b} \):
- \( \overrightarrow{DC} = \vec{a} \)
- \( \overrightarrow{AB} = \vec{b} \)
Таким образом: \[ \overrightarrow{EC} = \overrightarrow{AB} - \frac{1}{2} \overrightarrow{DC} \] \[ \overrightarrow{AG} = \frac{-\overrightarrow{DC} + 2\overrightarrow{AB}}{2} \]
Это окончательные выражения для векторов \( \overrightarrow{EC} \) и \( \overrightarrow{AG} \).
