Сформулируйте и докажите теорему о разложении на множители квадратного трëхчлена, имеющего корно

Теорема о разложении на множители квадратного трехчлена формулируется следующим образом:

Теорема: Квадратный трехчлен вида \( ax^2 + bx + c \) (где \( a, b, c \) — действительные числа, \( a \neq 0 \)), можно разложить на множители, если у него есть два действительных корня, которые можно найти с помощью дискриминанта. В случае, если дискриминант положителен, разложение будет выглядеть следующим образом:

\[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2), \]

где \( x_1 \) и \( x_2 \) — корни уравнения, найденные по формуле:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, \]

где \( D = b^2 - 4ac \) — дискриминант.

Доказательство:

1. Нахождение корней: Сначала находим корни квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) с использованием дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac. \] Если \( D > 0 \), у нашего уравнения есть два различных действительных корня, \( x_1 \) и \( x_2 \).

2. Составление разложения: Используем форму корней для представления квадратного трехчлена: \[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2). \] Раскроем скобки: \[ a(x - x_1)(x - x_2) = a[x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2]. \] Заметим, что:

   • Сумма корней \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \),
   • Произведение корней \( x_1x_2 = \frac{c}{a} \).

3. Подставляем значения в разложение: \[ ax^2 + bx + c = a\left(x^2 - \left(-\frac{b}{a}\right)x + \frac{c}{a}\right) = ax^2 + bx + c. \] Мы видим, что все возвращается на свои места, и мы доказали, что исходный квадратный трехчлен можно разложить на множители, если он имеет два действительных корня.

Таким образом, теорема о разложении на множители квадратного трехчлена, имеющего корни, доказана. Разложение всегда возможно, когда у вас есть два действительных корня.