Раил задумал четырёхзначное число. Оно обладает следующими свойствами: 1) Делится без остатка на 5, 2) Цифра сотен в два раза меньше, чем цифра десятков, 3) Сумма первой и…

Давайте решим задачу шаг за шагом, анализируя каждое из условий.

1. Число делится на 5: Это означает, что последняя цифра (единицы) может быть 0 или 5.

2. Цифра сотен в два раза меньше, чем цифра десятков: Обозначим цифры числа как \( a \) (тысячи), \( b \) (сотни), \( c \) (десятки) и \( d \) (единицы). Из этого условия следует, что \( b = \frac{c}{2} \). Поскольку \( b \) и \( c \) — целые числа, \( c \) должна быть четным числом.

3. Сумма первой и последней цифры в 4 раза меньше двузначного числа, образованного второй и третьей цифрами: Мы можем записать это условие как \( a + d = \frac{1}{4}(10b + c) \).

4. Цифра в разряде тысяч больше цифры в разряде сотен на 1: Это означает, что \( a = b + 1 \).

Теперь давайте по порядку:

Из условия 2, если \( c \) четное, возможные значения для \( c \) — 0, 2, 4, 6, 8. При этом \( b \) может принимать значение 0, 1, 2, 3, 4 (в зависимости от \( c \)).

Теперь подставим \( b \) и \( a \):

1. Если \( c = 0 \), тогда \( b = 0 \) (т.е. тысяча — 1), и это число будет не четырёхзначным.
2. Если \( c = 2 \), \( b = 1 \), значит, \( a = b + 1 = 2 \). Мы получаем число подобного вида: 12XY.
3. Если \( c = 4 \), \( b = 2 \), значит, \( a = b + 1 = 3 \). Мы рассматриваем число 32XY.
4. Если \( c = 6 \), \( b = 3 \), значит, \( a = b + 1 = 4 \). Это 43XY.
5. Если \( c = 8 \), \( b = 4 \), значит, \( a = b + 1 = 5 \), что не может быть, потому что число должно быть четырёхзначным.

Проверим имеющиеся варианты:

Проверим для случая \( c = 4, b = 2, a = 3 \):

Получаем число 32d4 (d может быть 0 или 5).

1. Для \( d = 0 \): 3240
   • Условие 3: \( 3 + 0 = \frac{1}{4}(10 \cdot 2 + 4) \) → \( 3 = \frac{1}{4}(20 + 4) \) → \( 3 = 6 \) (не подходит).
2. Для \( d = 5 \): 3245
   • Условие 3: \( 3 + 5 = \frac{1}{4}(10 \cdot 2 + 4) \) → \( 8 = \frac{1}{4}(20 + 4) \) → \( 8 = 6 \) (не подходит).

Проверим для случая \( c = 2, b = 1, a = 2 \):

Получаем число 21d1.

1. Для \( d = 0 \): 2100
   • Условие 3: \( 2 + 0 = \frac{1}{4}(10 \cdot 1 + 2) \) → \( 2 = \frac{1}{4}(10 + 2) \) → \( 2 = 3 \) (не подходит).
2. Для \( d = 5 \): 2105
   • Условие 3: \( 2 + 5 = \frac{1}{4}(10 \cdot 1 + 2) \) → \( 7 = \frac{1}{4}(10 + 2) \) → \( 7 = 3 \) (не подходит).

Проверим для случая \( c = 6, b = 3, a = 4 \):

Получаем число 43d6.

1. Для \( d = 0 \): 4300
   • Условие 3: \( 4 + 0 = \frac{1}{4}(10 \cdot 3 + 6) \) → \( 4 = \frac{1}{4}(30 + 6) \) → \( 4 = 9 \) (не подходит).
2. Для \( d = 5 \): 4305
   • Условие 3: \( 4 + 5 = \frac{1}{4}(10 \cdot 3 + 6) \) → \( 9 = \frac{1}{4}(30 + 6) \) → \( 9 = 9 \) (подходит).

Итак, четвёртым шагом мы получили, что число, задумал Раил, это 4305.