Доказать, пользуясь определением по коши, что число А=7 является пределом функции y=2x+1 при x-> 3
Чтобы доказать, что число A = 7 является пределом функции y = 2x + 1 при x стремящемся к 3, воспользуемся формальным определением предела по Коши. По этому определению, мы должны показать, что для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что если |x - 3| < δ, то |y - 7| < ε.
Сначала подставим x = 3 в функцию y = 2x + 1: \[ y = 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7. \] Таким образом, когда x стремится к 3, y стремится к 7.
Теперь рассмотрим выражение |y - 7|: \[ |y - 7| = |(2x + 1) - 7| = |2x + 1 - 7| = |2x - 6| = 2|x - 3|. \]
Теперь, чтобы выполнить условие |y - 7| < ε, подставим полученное выражение: \[ 2|x - 3| < ε. \] Это приводит к неравенству: \[ |x - 3| < \frac{ε}{2}. \]
Таким образом, мы можем выбрать δ = ε/2. Это означает, что если |x - 3| < δ, то \[ |y - 7| = 2|x - 3| < 2 \cdot \frac{ε}{2} = ε. \]
Таким образом, для любого ε > 0 мы нашли δ = ε/2, что подтверждает выполнение условия предела.
В заключение, мы доказали, что число A = 7 является пределом функции y = 2x + 1 при x стремящемся к 3, согласно определению по Коши.
