Доказать, пользуясь определением по Гейне, что число А=3 является пределом функции f(x)=x²-x-2/x-2 при x -> 2

Чтобы доказать, что число \( A = 3 \) является пределом функции \( f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x - 2} \) при \( x \to 2 \), воспользуемся определением предела по Гейне.

Согласно определению, мы должны показать, что для любого \( \epsilon > 0 \) существует такое \( \delta > 0 \), что если \( 0 < |x - 2| < \delta \), то \( |f(x) - A| < \epsilon \).

Сначала упростим функцию \( f(x) \):

\[ f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x - 2} \]

Факторизуем числитель:

\[ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) \]

Тогда

\[ f(x) = \frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 2} \quad \text{для } x \neq 2 \]

Таким образом, \( f(x) = x + 1 \) при \( x \neq 2 \).

Теперь находим предел:

\[ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x + 1) = 2 + 1 = 3 \]

Теперь, чтобы использовать определение по Гейне, мы должны взять \( A = 3 \) и показать, что для любого \( \epsilon > 0 \) существует \( \delta > 0 \).

Рассмотрим:

\[ |f(x) - 3| = |(x + 1) - 3| = |x - 2| \]

Теперь, чтобы выполнить условие, нам нужно сделать так, чтобы:

\[ |x - 2| < \epsilon \implies |f(x) - 3| < \epsilon \]

Таким образом, выбираем \( \delta = \epsilon \). Тогда при \( 0 < |x - 2| < \delta \) мы получим:

\[ |f(x) - 3| < \epsilon \]

Таким образом, мы доказали, что для любого \( \epsilon > 0 \) мы можем найти \( \delta > 0 \) (в данном случае \( \delta = \epsilon \)), что соответствует определению предела. Следовательно, предел функции \( f(x) \) при \( x \to 2 \) равен 3.

Успехов в учёбе!