X(x^2+2x+1)=2(x+1)

Решим уравнение: \( x(x^2 + 2x + 1) = 2(x + 1) \).

Сначала упростим обе стороны уравнения. Левую сторону можно разложить:

\[ x(x^2 + 2x + 1) = x((x+1)^2) = x^3 + 2x^2 + x. \]

Правую сторону уравнения упростим:

\[ 2(x + 1) = 2x + 2. \]

Теперь у нас есть:

\[ x^3 + 2x^2 + x = 2x + 2. \]

Переносим все на одну сторону:

\[ x^3 + 2x^2 + x - 2x - 2 = 0. \]

Упрощаем уравнение:

\[ x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0. \]

Теперь необходимо решить это кубическое уравнение. Мы можем попробовать найти рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях. Проверим, например, \( x = 1 \):

\[ 1^3 + 2(1^2) - 1 - 2 = 1 + 2 - 1 - 2 = 0. \]

Итак, \( x = 1 \) является корнем. Теперь мы можем разделить многочлен \( x^3 + 2x^2 - x - 2 \) на \( x - 1 \).

Сделаем это с помощью деления многочлена:

1. Разделим \( x^3 \) на \( x \) и получим \( x^2 \).
2. Умножаем \( x^2 \) на \( x - 1 \) и получаем \( x^3 - x^2 \).
3. Вычтем: \((2x^2 - (-x^2)) = 3x^2\).
4. Спускаем следующий член: \( 3x^2 - x - 2 \).
5. Далее разделим \( 3x^2 \) на \( x \), получим \( 3x \).
6. Умножаем \( 3x \) на \( x - 1 \), получаем \( 3x^2 - 3x \).
7. Вычтем: \((-x - (-3x)) = 2x\).
8. Затем спускаем последний член: \( 2x - 2\) и делим \( 2x \) на \( x \), получим \( 2 \).
9. Умножаем и вычитаем: остаётся 0.

Это даёт нам итоговое разложение:

\[ x^3 + 2x^2 - x - 2 = (x - 1)(x^2 + 3x + 2). \]

Теперь нужно решить \( x^2 + 3x + 2 = 0 \). Это уравнение можно разложить на множители:

\[ (x + 1)(x + 2) = 0. \]

Следовательно, у нас есть три корня:

1. \( x = 1 \)
2. \( x = -1 \)
3. \( x = -2 \)

Таким образом, все решения уравнения \( x(x^2 + 2x + 1) = 2(x + 1) \) это:

\[ x = 1, x = -1, x = -2. \]