L o g 2 ( 5 x + 3 ) − l o g 2 ( 3 x − 1 ) = 2

Чтобы решить уравнение \( \log_2(5x + 3) - \log_2(3x - 1) = 2 \), воспользуемся свойством логарифмов, которое гласит, что разность логарифмов равна логарифму деления аргументов:

\[ \log_2\left(\frac{5x + 3}{3x - 1}\right) = 2 \]

Теперь, чтобы убрать логарифм, возведем обе стороны уравнения в степень 2:

\[ \frac{5x + 3}{3x - 1} = 2^2 \]

Это упрощается до:

\[ \frac{5x + 3}{3x - 1} = 4 \]

Теперь умножим обе стороны на \(3x - 1\), чтобы избавиться от дроби (при этом нужно учитывать, что \(3x - 1\) должен быть положительным):

\[ 5x + 3 = 4(3x - 1) \]

Раскроем скобки:

\[ 5x + 3 = 12x - 4 \]

Теперь приведем все элементы с \(x\) в одну сторону, а свободные члены — в другую. Переносим \(12x\) влево и \(3\) вправо:

\[ 5x - 12x = -4 - 3 \] \[ -7x = -7 \]

Делим обе стороны на -7:

\[ x = 1 \]

Теперь нужно проверить, удовлетворяет ли найденное значение \(x\) исходным логарифмам. Подставим \(x = 1\) в аргументы:

Для \(5x + 3\):

\[ 5(1) + 3 = 5 + 3 = 8 > 0 \]

Для \(3x - 1\):

\[ 3(1) - 1 = 3 - 1 = 2 > 0 \]

Оба аргумента положительны, следовательно, найденное решение корректно. Таким образом, ответ:

\[ x = 1 \]