(х²+х)²-5(х²+х)+6=0 реши

Решим уравнение \((x^2 + x)^2 - 5(x^2 + x) + 6 = 0\).

1. Введём замену: пусть \(y = x^2 + x\). Тогда данное уравнение преобразуется в: \[ y^2 - 5y + 6 = 0 \]

2. Теперь решим квадратное уравнение \(y^2 - 5y + 6 = 0\) с помощью формулы для вычисления корней квадратного уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\).

   Подставим значения в формулу: \[ y = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} \] \[ y = \frac{5 \pm 1}{2} \]

   Теперь найдём два значения \(y\):

   1. \(y_1 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3\)
   2. \(y_2 = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2\)

3. Теперь вернёмся к нашей замене \(y = x^2 + x\). Это дает нам два уравнения:

   1. \(x^2 + x - 3 = 0\)
   2. \(x^2 + x - 2 = 0\)

4. Решим каждое из них.

   Для \(x^2 + x - 3 = 0\): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2} \]

   Для \(x^2 + x - 2 = 0\): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{(1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} \] \[ x = \frac{-1 \pm 3}{2} \] Тут получаем два корня:

   1. \(x_1 = \frac{2}{2} = 1\)
   2. \(x_2 = \frac{-4}{2} = -2\)

5. Подводя итоги, у нас есть четыре корня:

   1. \(x = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}\)
   2. \(x = \frac{-1 - \sqrt{13}}{2}\)
   3. \(x = 1\)
   4. \(x = -2\)

Это и есть все корни исходного уравнения. Если у вас есть дополнительные вопросы по этому материалу, не стесняйтесь спрашивать!