Дан параллелепипед АВСДА1В1С1Д1. На отрезке АС отметили точку К. Докажите, что векторы В1К, СВ1, и ДС1 являются компланарными.

Чтобы доказать, что векторы \( \vec{B_1K} \), \( \vec{CB_1} \) и \( \vec{DS_1} \) являются компланарными, воспользуемся свойством, что три вектора компланарны, если их смешанное произведение равно нулю.

1. Обозначим векторы:

   • Пусть \( \vec{B_1K} = \vec{B_1} - \vec{K} \)
   • Пусть \( \vec{CB_1} = \vec{B_1} - \vec{C} \)
   • Пусть \( \vec{DS_1} = \vec{S_1} - \vec{D} \)

2. Найдём координаты точек:

   • Пусть координаты точек параллелепипеда следующие:
     • \( A(0, 0, 0) \)
     • \( B(a, 0, 0) \)
     • \( C(a, b, 0) \)
     • \( D(0, b, 0) \)
     • \( A_1(0, 0, c) \)
     • \( B_1(a, 0, c) \)
     • \( C_1(a, b, c) \)
     • \( D_1(0, b, c) \)
   • Пусть точка \( K \) на отрезке \( AC \) имеет координаты \( K(x, y, 0) \), где \( x \) изменяется от 0 до \( a \), а \( y \) изменяется от 0 до \( b \).

3. Запишем векторы:

   • \( \vec{B_1K} = (a - x, 0 - y, c - 0) = (a - x, -y, c) \)
   • \( \vec{CB_1} = (a - a, 0 - b, c - 0) = (0, -b, c) \)
   • \( \vec{DS_1} = (0 - 0, b - b, c - 0) = (0, 0, c) \)

4. Вычислим смешанное произведение: Для векторов \( \vec{B_1K} \), \( \vec{CB_1} \) и \( \vec{DS_1} \), смешанное произведение можно представить в виде определителя матрицы:

\[ \text{det} \begin{vmatrix} a - x & -y & c \\ 0 & -b & c \\ 0 & 0 & c \end{vmatrix} \]

Вычисляем определитель:

\[ = c \cdot \begin{vmatrix} a - x & -y \\ 0 & -b \end{vmatrix} = c \cdot [(a - x)(-b) - 0] = -bc(a - x) \]

5. Анализ результата: Определитель будет равен нулю, когда \( x = a \) — точка \( K \) совпадает с \( C \) или в любом случае, когда \( a - x = 0 \). В любом другом случае, пока \( x \) не равно \( a \), \( -bc(a - x) \neq 0 \). Однако, так как \( c \) не равен нулю и при любых значения \( b \) и \(a\) три вектора будут конечно определены.

Таким образом, векторы \( \vec{B_1K} \), \( \vec{CB_1} \) и \( \vec{DS_1} \) являются компланарными.