Дано соответствие Г= (X,Y,G). 1. Изобразить соответствие в виде графа. 2. Выяснить, какими из 4 основных свойств (всюду определен– ность, сюръективность, функциональность,…
Дано соответствие Г= (X,Y,G). 1. Изобразить соответствие в виде графа. 2. Выяснить, какими из 4 основных свойств (всюду определен– ность, сюръективность, функциональность, инъективность) обла– дает Г. Множества, графики, соответствия, отношения 3. Найти образ множества А и прообраз множества В при данном соответствии. 4. Построить соответствие между бесконечными множества– ми, обладающее тем же набором свойств, что и Г. 5. Построить соответствие между конечными множествами, обладающее набором свойств, противоположным данному. Замечание. Для данного и построенных соответствий отметить случаи отображений, указать их тип, отметить случаи биекций X = {a,b,c,d} Y = {1,2,3,4,5} A = {b,c} B = {1,2} G = {(a,2), (c,1), (d,5), (c,3)}
Давайте вместе разберем вашу задачу шаг за шагом.
- Изобразим соответствие \( G \) в виде графа.
Для начала, перечислим элементы множества \( X \) и \( Y \):
- \( X = \{a, b, c, d\} \)
- \( Y = \{1, 2, 3, 4, 5\} \)
Согласно множеству соответствий \( G \), имеем:
- \( (a, 2) \)
- \( (c, 1) \)
- \( (d, 5) \)
- \( (c, 3) \)
Теперь изобразим это в виде графа:
- Вершины: \( a, b, c, d \) из \( X \) будет соединены с \( 1, 2, 3, 4, 5 \) из \( Y \) по следующим ребрам:
- \( a \) ------ \( 2 \)
- \( c \) ------ \( 1 \)
- \( c \) ------ \( 3 \) (обратите внимание, что здесь \( c \) соединен с двумя элементами)
- \( d \) ------ \( 5 \)
Элемент \( b \) не имеет исходящей связи, так как не связан ни с одним элементом из \( Y \).
- Выясним основные свойства соответствия.
Всюду определенность: Соответствие будет всюду определено, если каждому элементу из \( X \) будет сопоставлен хотя бы один элемент из \( Y \). В нашем случае \( b \) не имеет соответствия, поэтому соответствие не является всюду определенным.
Сюръективность: Соответствие является сюръективным, если каждому элементу из \( Y \) соответствует хотя бы один элемент из \( X \). В данном случае элемент \( 4 \) в \( Y \) не имеет прообраза, следовательно, отображение не сюръективно.
Функциональность: Соответствие функционально, если каждому элементу из \( X \) соответствует не более одного элемента из \( Y \). Так как \( c \) соответствует двум элементам (1 и 3), это тоже указывает, что соответствие не функционально.
Инъективность: Соответствие инъективно, если разные элементы из \( X \) соответствуют разным элементам из \( Y \). Поскольку \( c \) связывается с двумя значениями, это условие также не выполняется.
Таким образом, соответствие \( G \) не обладает никакими основными свойствами из перечисленных.
- Найдем образ множества \( A \) и прообраз множества \( B \).
Образ множества \( A = \{b, c\} \):
- Для \( b \): нет прообраза, так как для \( b \) не видно соответствия в \( G \).
- Для \( c \): образ \( c \) — это \( \{1, 3\} \) (как \( c \) приводит к \( 1 \) и \( 3 \)).
Таким образом, \( \text{образ}(A) = \{1, 3\} \).
Прообраз множества \( B = \{1, 2\} \):
- Для \( 1 \): прообразом является \( c \).
- Для \( 2 \): прообразом является \( a \).
Таким образом, \( \text{прообраз}(B) = \{a, c\} \).
- Построим соответствие между бесконечными множествами с теми же свойствами, что и \( G \).
Можно рассмотреть бесконечные множества, такие как \( X = \mathbb{N} \) (множество всех натуральных чисел) и \( Y = \mathbb{N} \).
Определим \( G' = \{(n, n+1) : n \in \mathbb{N}\} \). Каждый элемент из \( X \) будет соответствовать ровно одному элементу из \( Y \), и в данном случае аналогично нашим условиям, это соответствие не будет функциональным, поскольку каждый элемент из \( X \) будет совпадать с уникальным элементом из \( Y \).
- Построим соответствие между конечными множествами с противоположными свойствами.
Рассмотрим множества \( X' = \{a, b\} \) и \( Y' = \{1, 2\} \), которое имеет следующее соответствие: \( G'' = \{(a, 1), (b, 2)\} \).
Это соответствие является:
- Всюду определенным,
- Сюръективным,
- Функциональным,
- Инъективным.
Таким образом, мы нашли примеры для всех пунктов задачи и отметили соответствия. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна разъясняющая информация по любому из пунктов, не стесняйтесь задавать!
