Переписывая контрольную работу, Незнайка ошибся в записи числа, он пропустил первую цифру 3 и добавил лишнюю цифру в конец. Оказалось, что, если умножить на 3, изначальное четырехзначное число, у него получится результат на 2658 больше, чем итоговое число. Определите, чему равнялось исходное число, если оно делилось на 9.

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Обозначим исходное четырехзначное число как \( N \). Согласно условию задачи, Незнайка пропустил первую цифру 3 и добавил лишнюю цифру в конец. Пусть тогда \( N \) можно записать как \( N = 3000 + x \), где \( x \) — это трехзначное число, получаемое после пропуска первой цифры. Обозначим полученное число как \( M \), тогда:

\[ M = x \cdot 10 + y \]

где \( y \) — это дополнительная цифра. Из условия задачи известно, что:

\[ 3N = M + 2658 \]

Подставим выражения для \( N \) и \( M \):

\[ 3(3000 + x) = (x \cdot 10 + y) + 2658 \]

Упрощаем уравнение:

\[ 9000 + 3x = 10x + y + 2658 \]

Переносим все члены с \( x \) в одну сторону и числовые в другую:

\[ 9000 - 2658 = 10x - 3x + y \]

Это упростится до:

\[ 6342 = 7x + y \]

Из этого уравнения видно, что \( y \) — это последняя цифра, она может принимать значения от 0 до 9. Давайте выразим \( y \):

\[ y = 6342 - 7x \]

Условия для \( y \) говорят, что \( 6342 - 7x \) должно находиться в диапазоне от 0 до 9:

1. \( 6342 - 7x \geq 0 \implies 6342 \geq 7x \implies x \leq \frac{6342}{7} \approx 906 \)
2. \( 6342 - 7x \leq 9 \implies 6342 - 9 \leq 7x \implies 7x \geq 6333 \implies x \geq \frac{6333}{7} \approx 904.714 \)

Значит \( x \) может принимать значения 905 или 906. Подставим эти значения для определения \( y \):

1. Если \( x = 905 \): \[ y = 6342 - 7 \cdot 905 = 6342 - 6335 = 7 \]

2. Если \( x = 906 \): \[ y = 6342 - 7 \cdot 906 = 6342 - 6342 = 0 \]

Теперь находим исходные числа \( N \):

1. Если \( x = 905 \): \[ N = 3000 + 905 = 3905 \]

2. Если \( x = 906 \): \[ N = 3000 + 906 = 3906 \]

Проверяем, делится ли каждое из полученных чисел на 9:

• Для 3905: сумма цифр \( 3 + 9 + 0 + 5 = 17 \) (не делится на 9).
• Для 3906: сумма цифр \( 3 + 9 + 0 + 6 = 18 \) (делится на 9).

Таким образом, исходное число, равное 3906, соответствует условию задачи.

Ответ: 3906.