Найдите угол между векторами а(-4;0) и б (4;-4)

Чтобы найти угол между двумя векторами, используем формулу, основанную на скалярном произведении векторов. Два вектора \(\mathbf{a} = (-4, 0)\) и \(\mathbf{b} = (4, -4)\).

Первым шагом найдем скалярное произведение векторов:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-4) \cdot 4 + 0 \cdot (-4) = -16 + 0 = -16. \]

Теперь найдем длины каждого из векторов:

\[ |\mathbf{a}| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4, \]

\[ |\mathbf{b}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}. \]

Теперь применим формулу для нахождения угла \(\theta\) между векторами:

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|}. \]

Подставим известные значения:

\[ \cos(\theta) = \frac{-16}{4 \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{-16}{16\sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}}. \]

Теперь найдем угол:

\[ \theta = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right). \]

Возможно, вы знаете, что \(\cos(\theta) = -\frac{1}{\sqrt{2}}\) соответствует углу \(\theta = 135^\circ\) или \( \theta = 225^\circ\). Однако в контексте задач часто рассматривается угол между векторами в диапазоне от \(0^\circ\) до \(180^\circ\). Следовательно, угол между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) равен:

\[ \theta = 135^\circ. \]

Таким образом, угол между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) равен \(135^\circ\).