В данном случае правильный ответ — второе предложение: "Мальчишка смотрит (не)мигающими глазами на сестрёнку, что-то ей шепчет, показывает на пальцах какую-то фигурку."
В этом предложении "не" пишется раздельно с причастием "мигающими", так как "не" с причастиями пишется раздельно, если оно не в степени сравнения и не усиливает значение, а в данном контексте это именно такой случай.
В остальных предложениях "не" пишется слитно, так как либо оно усиливает значение причастия, либо причастие употребляется в форме, требующей слитного написания с "не".
Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме или другим аспектам русского языка, не стесняйтесь задавать!
