A, B, C, D и E - произвольные точки плоскости. Чему равна вектора АВ + CD + EA + BC + DE?

Чтобы найти сумму векторов \( \vec{AB} + \vec{CD} + \vec{EA} + \vec{BC} + \vec{DE} \), сначала давайте разберёмся, что представляют собой эти векторы.

1. \( \vec{AB} \) – это вектор, который направлен от точки \( A \) к точке \( B \).
2. \( \vec{CD} \) – вектор от точки \( C \) к точке \( D \).
3. \( \vec{EA} \) – вектор от точки \( E \) к точке \( A \).
4. \( \vec{BC} \) – вектор от точки \( B \) к точке \( C \).
5. \( \vec{DE} \) – вектор от точки \( D \) к точке \( E \).

Теперь давайте рассмотрим, что будет при сложении этих векторов. Можно заметить, что каждый вектор может быть представлен как разница координат конечной и начальной точки. Поэтому мы можем написать сумму векторов в виде:

\[ \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DE} + \vec{EA} = (\vec{B} - \vec{A}) + (\vec{C} - \vec{B}) + (\vec{D} - \vec{C}) + (\vec{E} - \vec{D}) + (\vec{A} - \vec{E}). \]

При сложении этих векторов, мы видим, что все точки будут сокращаться:

\[ -\vec{A} + \vec{B} - \vec{B} + \vec{C} - \vec{C} + \vec{D} - \vec{D} + \vec{E} - \vec{E} + \vec{A} = \vec{0}. \]

Таким образом, вся сумма этих векторов равна нулевому вектору:

\[ \vec{AB} + \vec{CD} + \vec{EA} + \vec{BC} + \vec{DE} = \vec{0}. \]

Это означает, что вектора взаимно уничтожаются, образуя замкнутую цепочку.