Случайная выборка из некоторой генеральной совокупно-сти содержит пять значений: 15, 12, 7, 10 и 11. По этой выборке найдите несмещённую оценку дисперсии генеральной совокупности.

Чтобы найти несмещённую оценку дисперсии генеральной совокупности по случайной выборке, сначала необходимо рассчитать выборочное среднее, а затем вычислить дисперсию.

1. Находим выборочное среднее (\( \bar{x} \)): \[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5}{n} \] где \( x_1, x_2, \ldots, x_5 \) — значения выборки, а \( n \) — количество наблюдений.

   Подставим значения: \[ \bar{x} = \frac{15 + 12 + 7 + 10 + 11}{5} = \frac{55}{5} = 11 \]

2. Находим выборочную дисперсию (\( S^2 \)): \[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n - 1} \] Подсчитаем отклонения от среднего и их квадраты:

   • \( (15 - 11)^2 = 16 \)
   • \( (12 - 11)^2 = 1 \)
   • \( (7 - 11)^2 = 16 \)
   • \( (10 - 11)^2 = 1 \)
   • \( (11 - 11)^2 = 0 \)

   Теперь найдем сумму квадратов отклонений: \[ \sum_{i=1}^{5} (x_i - \bar{x})^2 = 16 + 1 + 16 + 1 + 0 = 34 \]

   Теперь подставим в формулу для выборочной дисперсии: \[ S^2 = \frac{34}{5 - 1} = \frac{34}{4} = 8.5 \]

Таким образом, несмещённая оценка дисперсии генеральной совокупности составляет 8.5.