5x - |2x + 1| > 3
Чтобы решить неравенство \( 5x - |2x + 1| > 3 \), давайте сначала разделим задачу на два случая, поскольку мы имеем абсолютное значение.
Случай 1: \( 2x + 1 \geq 0 \) (это значит, что \( |2x + 1| = 2x + 1 \)). В этом случае неравенство становится: \[ 5x - (2x + 1) > 3 \] Упростим его: \[ 5x - 2x - 1 > 3 \] \[ 3x - 1 > 3 \] \[ 3x > 4 \] \[ x > \frac{4}{3} \]
Случай 2: \( 2x + 1 < 0 \) (это значит, что \( |2x + 1| = -(2x + 1) \)). Тогда неравенство выглядит так: \[ 5x - (-(2x + 1)) > 3 \] Упростим его: \[ 5x + 2x + 1 > 3 \] \[ 7x + 1 > 3 \] \[ 7x > 2 \] \[ x > \frac{2}{7} \]
Теперь нам нужно учесть условия каждого случая:
- В первом случае \( x > \frac{4}{3} \).
- Во втором случае \( 2x + 1 < 0 \) равно \( 2x < -1 \), что означает \( x < -\frac{1}{2} \).
Сравнив оба условия, мы приходим к следующим результатам:
- В первом случае подходит значение \( x > \frac{4}{3} \).
- Во втором случае \( x < -\frac{1}{2} \) не пересекается с первым.
Таким образом, решение неравенства: \[ x > \frac{4}{3} \quad \text{или} \quad x < -\frac{1}{2} \]
Это значит, что все значения \( x \) в интервалах \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \) и \( (\frac{4}{3}, +\infty) \) являются решениями данного неравенства.
