|x - 2| <= 2x + 1
Чтобы решить неравенство |x - 2| ≤ 2x + 1, начнем с анализа модуля. Модуль |-| определяет два случая в зависимости от значения выражения внутри него.
Случай 1: x - 2 ≥ 0, то есть x ≥ 2. В этом случае |x - 2| = x - 2. Наше неравенство превращается в: \[ x - 2 ≤ 2x + 1 \] Переносим все x в одну сторону и числа в другую: \[ -2 ≤ x + 1 \] Теперь вычтем 1 из обеих сторон: \[ -3 ≤ x \] В этом случае мы имеем два условия: x ≥ 2 и -3 ≤ x. Наименьшее ограничение здесь — x ≥ 2.
Случай 2: x - 2 < 0, то есть x < 2. В этом случае |x - 2| = -(x - 2) = -x + 2. Подставляем в неравенство: \[ -x + 2 ≤ 2x + 1 \] Переносим все x в одну сторону: \[ 2 ≤ 3x + 1 \] Вычтем 1 из обеих сторон: \[ 1 ≤ 3x \] Делим обе стороны на 3: \[ \frac{1}{3} ≤ x \] В этом случае мы имеем два условия: x < 2 и \(\frac{1}{3} ≤ x\). Таким образом, мы можем записать это как: \[ \frac{1}{3} ≤ x < 2 \]
Теперь объединим результаты из обоих случаев. В итоге, решение неравенства |x - 2| ≤ 2x + 1:
- \(x \geq 2\) из первого случая
- \(\frac{1}{3} ≤ x < 2\) из второго случая
Таким образом, окончательный результат будет: \[ \frac{1}{3} ≤ x < 2 \quad \text{или} \quad x ≥ 2 \] В виде интервала это можно записать так: \[ \left[\frac{1}{3}, 2\right) \cup [2, +\infty) \]
