Найти стационарные точки у=х^3 - 2х^2 + х + 3
Для нахождения стационарных точек функции \( y = x^3 - 2x^2 + x + 3 \), необходимо выполнить следующие шаги:
Найти производную функции. Сначала мы вычислим производную \( y' \): \[ y' = 3x^2 - 4x + 1 \]
Приравнять производную к нулю. Стационарные точки находятся там, где производная равна нулю: \[ 3x^2 - 4x + 1 = 0 \]
Решить квадратное уравнение. Это уравнение можно решить с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 \]
Дискриминант положителен, что означает, что у уравнения есть два разных корня.
Найдем корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2}{6} \] Это дает два корня: \[ x_1 = \frac{6}{6} = 1, \quad x_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
Стационарные точки. Таким образом, стационарные точки находятся в \( x = 1 \) и \( x = \frac{1}{3} \).
Теперь можно подставить найденные значения \( x \) обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения \( y \):
- Для \( x = 1 \): \[ y(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 1 + 3 = 1 - 2 + 1 + 3 = 3 \]
- Для \( x = \frac{1}{3} \): \[ y\left(\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right) + 3 = \frac{1}{27} - 2 \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + 3 \] Приведем к общему знаменателю 27: \[ = \frac{1}{27} - \frac{6}{27} + \frac{9}{27} + \frac{81}{27} = \frac{1 - 6 + 9 + 81}{27} = \frac{85}{27} \]
Итак, стационарные точки функции \( y = x^3 - 2x^2 + x + 3 \) находятся в точках \( (1, 3) \) и \( \left( \frac{1}{3}, \frac{85}{27} \right) \).
