Известно что уровнение x² + (p + +8)x+2q = 0 не имеет решений, а уравнение 2x² + qx - (p + 8) =0 имеет два различных корня. найдите наименьшее целое значение выражения p + q, если p меньше q.

Question 1

Задача Задача №1675376

А

Аноним

30 сентября 2024 12:54 · публичный вопрос

А

Аноним 30 сентября 2024 12:54

Известно что уровнение x² + (p + +8)x+2q = 0 не имеет решений, а уравнение 2x² + qx - (p + 8) =0 имеет два различных корня. найдите наименьшее целое значение выражения p + q, если p меньше q.

Answer

Давайте разберем заданные уравнения и условия, чтобы найти наименьшее целое значение выражения \( p + q \), при условии, что \( p < q \).

Уравнение \( x^2 + (p + 8)x + 2q = 0 \) не имеет решений. Для этого дискриминант должен быть меньше нуля:

\[ D_1 = (p + 8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2q < 0. \]

Раскроем дискриминант:

\[ (p + 8)^2 - 8q < 0. \]

Уравнение \( 2x^2 + qx - (p + 8) = 0 \) имеет два различных корня. Условия для этого — дискриминант должен быть больше нуля:

\[ D_2 = q^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-(p + 8)) > 0. \]

Раскроем дискриминант:

\[ q^2 + 8(p + 8) > 0. \]

Теперь у нас есть два неравенства:

\((p + 8)^2 < 8q\)
\(q^2 + 8(p + 8) > 0\)

Разберем первое неравенство:

\((p + 8)^2 < 8q\) можно переписать как:

\[ p^2 + 16p + 64 < 8q \quad \text{или} \quad 8q > p^2 + 16p + 64. \]

Таким образом:

\[ q > \frac{p^2 + 16p + 64}{8}. \]

Рассмотрим второе неравенство:

\(q^2 + 8(p + 8) > 0\) означает, что \(q^2 > -8(p + 8)\). Это условие всегда выполняется для достаточно больших \(q\).

Найдем целые значения \(p\) и \(q\):

Для упрощения, можно подставить небольшие целые значения для \(p\) и проверять, выполняются ли условия, особенно с условием \(p < q\).

Попробуем \(p = 0\): \[ q > \frac{0 + 0 + 64}{8} = 8 \quad \Rightarrow \quad q \geq 9. \] Проверим \(q = 9\):

Первое неравенство: \((0 + 8)^2 < 8 \cdot 9 \Rightarrow 64 < 72 \quad \text{(выполняется)}\).
Второе неравенство: \(9^2 + 8(0 + 8) > 0 \Rightarrow 81 + 64 > 0 \quad \text{(выполняется)}\).

Теперь сумма: \[ p + q = 0 + 9 = 9. \]

Попробуем следующее значение \(p = 1\): \[ q > \frac{1 + 16 + 64}{8} = \frac{81}{8} = 10.125 \quad \Rightarrow \quad q \geq 11. \] Проверим \(q = 11\):

Первое неравенство: \((1 + 8)^2 < 8 \cdot 11 \Rightarrow 81 < 88 \quad \text{(выполняется)}\).
Второе неравенство: \(11^2 + 8(1 + 8) > 0 \Rightarrow 121 + 72 > 0 \quad \text{(выполняется)}\).

Теперь сумма: \[ p + q = 1 + 11 = 12. \]

Таким образом, наименьшее целое значение выражения \( p + q \), при котором соблюдаются условия \( p < q \), будет равно \(\boxed{9}\).

Question 2

Известно что уровнение x² + (p + +8)x+2q = 0 не имеет решений, а уравнение 2x² + qx - (p + 8) =0 имеет два различных корня. найдите наименьшее целое значение выражения p + q, если p меньше q.

Answer

Давайте разберем заданные уравнения и условия, чтобы найти наименьшее целое значение выражения \( p + q \), при условии, что \( p < q \). 1. Уравнение \( x^2 + (p + 8)x + 2q = 0 \) не имеет решений. Для этого дискриминант должен быть меньше нуля: \[ D_1 = (p + 8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2q < 0. \] Раскроем дискриминант: \[ (p + 8)^2 - 8q < 0. \] 2. Уравнение \( 2x^2 + qx - (p + 8) = 0 \) имеет два различных корня. Условия для этого — дискриминант должен быть больше нуля: \[ D_2 = q^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-(p + 8)) > 0. \] Раскроем дискриминант: \[ q^2 + 8(p + 8) > 0. \] Теперь у нас есть два неравенства: 1. \((p + 8)^2 < 8q\) 2. \(q^2 + 8(p + 8) > 0\) ### Разберем первое неравенство: \((p + 8)^2 < 8q\) можно переписать как: \[ p^2 + 16p + 64 < 8q \quad \text{или} \quad 8q > p^2 + 16p + 64. \] Таким образом: \[ q > \frac{p^2 + 16p + 64}{8}. \] ### Рассмотрим второе неравенство: \(q^2 + 8(p + 8) > 0\) означает, что \(q^2 > -8(p + 8)\). Это условие всегда выполняется для достаточно больших \(q\). ### Найдем целые значения \(p\) и \(q\): Для упрощения, можно подставить небольшие целые значения для \(p\) и проверять, выполняются ли условия, особенно с условием \(p < q\). Попробуем \(p = 0\): \[ q > \frac{0 + 0 + 64}{8} = 8 \quad \Rightarrow \quad q \geq 9. \] Проверим \(q = 9\): - Первое неравенство: \((0 + 8)^2 < 8 \cdot 9 \Rightarrow 64 < 72 \quad \text{(выполняется)}\). - Второе неравенство: \(9^2 + 8(0 + 8) > 0 \Rightarrow 81 + 64 > 0 \quad \text{(выполняется)}\). Теперь сумма: \[ p + q = 0 + 9 = 9. \] Попробуем следующее значение \(p = 1\): \[ q > \frac{1 + 16 + 64}{8} = \frac{81}{8} = 10.125 \quad \Rightarrow \quad q \geq 11. \] Проверим \(q = 11\): - Первое неравенство: \((1 + 8)^2 < 8 \cdot 11 \Rightarrow 81 < 88 \quad \text{(выполняется)}\). - Второе неравенство: \(11^2 + 8(1 + 8) > 0 \Rightarrow 121 + 72 > 0 \quad \text{(выполняется)}\). Теперь сумма: \[ p + q = 1 + 11 = 12. \] Таким образом, наименьшее целое значение выражения \( p + q \), при котором соблюдаются условия \( p < q \), будет равно \(\boxed{9}\).