В треугольнике АВС проведена биссектриса BL. На стороне ВС отмечена такая точка К, что L LKC = L BLC. Известно, что AL равно LK. Чему равен LABC, если градусные меры углов LLAB и LACB относятся как 3 : 1?

Для решения задачи сначала обозначим углы:

• Пусть угол \( \angle LAB = 3x \)
• Тогда угол \( \angle LAC = x \)

Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то можем записать:

\[ \angle ALB + \angle ALC + \angle LAB = 180° \]

Углы \( \angle ALB \) и \( \angle ALC \) равны, так как \( BL \) – биссектрисa. Обозначим угол \( \angle ALB = \angle ALC = y \). Тогда:

\[ y + y + 3x = 180° \] \[ 2y + 3x = 180° \] \[ 2y = 180° - 3x \] \[ y = \frac{180° - 3x}{2} \]

Теперь найдём угол при вершине C, используя свойства биссектрисы. Поскольку \( LK = AL \), у нас также есть:

\[ \angle LKC = \angle ALC = y \]

Теперь применим правило о том, что \( \angle BLC = 180° - \angle LAB - \angle LAC \):

\[ \angle BLC = 180° - 3x - x = 180° - 4x \]

Поскольку дано, что \( \angle LKC = \angle BLC \), можем записать уравнение:

\[ y = 180° - 4x \]

Теперь подставим значение \( y \):

\[ \frac{180° - 3x}{2} = 180° - 4x \]

Умножим обе стороны на 2:

\[ 180° - 3x = 360° - 8x \]

Теперь соберём все x вместе:

\[ 8x - 3x = 360° - 180° \] \[ 5x = 180° \] \[ x = 36° \]

Теперь можем найти углы:

\[ \angle LAB = 3x = 3 \times 36° = 108° \] \[ \angle LAC = x = 36° \]

Углы в треугольнике \( ABC \):

\[ \angle ABC = \angle LAB = 108° \] \[ \angle ACB = \angle LAC = 36° \]

Следовательно, угол \( LABC \):

\[ \angle A = 180° - \angle ABC - \angle ACB = 180° - 108° - 36° = 36° \]

Таким образом:

\[ \angle LABC = 36° \]

Ответ: \( \angle LABC = 36° \).