3x2 - 2x-1/5х+1 Решите неравенство

Чтобы решить неравенство \( \frac{3x^2 - 2x - 1}{5x + 1} > 0 \), следуем следующим шагам:

1. Находим нули числителя и знаменателя:

   • Для числителя \( 3x^2 - 2x - 1 = 0 \): Используем дискриминант \( D = b^2 - 4ac \), здесь \( a = 3 \), \( b = -2 \), \( c = -1 \): \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 \] Нули числителя можно найти по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 4}{6} \] Это дает \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -\frac{1}{3} \).

   • Для знаменателя \( 5x + 1 = 0 \): \[ 5x = -1 \implies x = -\frac{1}{5} \]

2. Определяем критические точки:

   • Критические точки: \( x = 1 \), \( x = -\frac{1}{3} \) и \( x = -\frac{1}{5} \).

3. Строим числовую прямую и определяем интервалы: Интервалы, которые нужно проверить:

   • \( (-\infty, -\frac{1}{3}) \)
   • \( (-\frac{1}{3}, -\frac{1}{5}) \)
   • \( (-\frac{1}{5}, 1) \)
   • \( (1, +\infty) \)

4. Выбираем тестовые точки:

   • Для \( (-\infty, -\frac{1}{3}) \): возьмем \( x = -1 \): \[ \frac{3(-1)^2 - 2(-1) - 1}{5(-1) + 1} = \frac{3 + 2 - 1}{-5 + 1} = \frac{4}{-4} = -1 < 0 \]

   • Для \( (-\frac{1}{3}, -\frac{1}{5}) \): возьмем \( x = -\frac{1}{4} \): \[ \frac{3(-\frac{1}{4})^2 - 2(-\frac{1}{4}) - 1}{5(-\frac{1}{4}) + 1} = \frac{3 \cdot \frac{1}{16} + \frac{1}{2} - 1}{-\frac{5}{4} + 1} = \] \( = \frac{\frac{3}{16} + \frac{8}{16} - \frac{16}{16}}{-\frac{1}{4}} = \frac{-\frac{5}{16}}{-\frac{1}{4}} = \frac{5}{4} > 0 \)

   • Для \( (-\frac{1}{5}, 1) \): возьмем \( x = 0 \): \[ \frac{3(0)^2 - 2(0) - 1}{5(0) + 1} = \frac{-1}{1} = -1 < 0 \]

   • Для \( (1, +\infty) \): возьмем \( x = 2 \): \[ \frac{3(2)^2 - 2(2) - 1}{5(2) + 1} = \frac{3 \cdot 4 - 4 - 1}{10 + 1} = \frac{12 - 4 - 1}{11} = \frac{7}{11} > 0 \]

5. Подводим итог:

   • Знак числителя:

     • Отрицателен на \( (-\infty, -\frac{1}{3}) \)
     • Положителен на \( (-\frac{1}{3}, -\frac{1}{5}) \)
     • Отрицателен на \( (-\frac{1}{5}, 1) \)
     • Положителен на \( (1, +\infty) \)

   • Знак дроби:

     • Положителен на интервалах \( (-\frac{1}{3}, -\frac{1}{5}) \) и \( (1, +\infty) \)

Таким образом, решение неравенства \( \frac{3x^2 - 2x - 1}{5x + 1} > 0 \): \[ x \in \left(-\frac{1}{3}, -\frac{1}{5}\right) \cup (1, +\infty) \]