Из города А в город В с постоянной скоростью выбежал марафонец Тимофей. Пробежав 1/4 пути, Тимофей сильно устал, решил прекратить свой марафон и стал медленным шагом (также с…

Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом.

1. Определим расстояние, который пробежал Тимофей. Расстояние между пунктами А и В составляет 30 километров, поэтому 1/4 пути будет: \[ \frac{30}{4} = 7.5 \text{ километров}. \]

2. Скорость Тимофея. Пусть скорость Тимофея равна \(v\) километров в час. Он пробежал 7.5 км и затем начал возвращаться в город А.

3. Скорость Михаила. Когда Тимофей начал возвращение, Михаил только начал свой путь из пункта А. Мы знаем, что Тимофей вернулся в пункт А одновременно с Михаилом, который добежал до пункта В.

4. Время, потраченное на пробежку. Время \(t_1\), за которое Тимофей пробежал 7.5 км, можно выразить как: \[ t_1 = \frac{7.5}{v}. \]

5. Возвращение Тимофея. Тимофей возвращался с той же скоростью \(v\). Он вернулся обратно 7.5 км, то есть время \(t_2\), за которое он возвращался: \[ t_2 = \frac{7.5}{v}. \] Таким образом, общее время, которое Тимофей провел до возвращения в А, равно: \[ T = t_1 + t_2 = \frac{7.5}{v} + \frac{7.5}{v} = \frac{15}{v}. \]

6. Время Михаила. Михаил пробежал полный путь 30 км за время \(T\) и его скорость обозначим как \(u\). Следовательно: \[ T = \frac{30}{u}. \]

7. Приравняем времена. Мы можем приравнять оба времени: \[ \frac{15}{v} = \frac{30}{u}. \] Перепишем это уравнение: \[ 15u = 30v \quad \Rightarrow \quad u = 2v. \]

8. Находим расстояние, на котором встретились спортсмены. Теперь мы знаем, что Михаил бежит в два раза быстрее, чем Тимофей. За время \(t_1\), пока Тимофей пробегал 7.5 км, Михаил пробежал расстояние: \[ \text{Расстояние Михаила} = u \cdot t_1 = 2v \cdot \frac{7.5}{v} = 15 \text{ километров}. \]

Таким образом, спортсмены встретились на расстоянии 15 километров от пункта А.