Строительство новой фабрики стоит 80 млн рублей. Затраты на производство x тыс . единиц продукции на такой фабрике равны 0,5x²+x+146 млн рублей в год. Если продукцию фабрики…
Строительство новой фабрики стоит 80 млн рублей. Затраты на производство x тыс . единиц продукции на такой фабрике равны 0,5x²+x+146 млн рублей в год. Если продукцию фабрики продать по цене q тыс.рублей за единицу,то прибыль фирмы( в млн рублей) за один год составит qx-(0,5x²+x+146). При каком наименьшем значении q строительство фабрики окупится не более чем за 5 лет, если после построения фабрики фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей ?
Для решения задачи найдем условие, при котором строительство фабрики окупится не более чем за 5 лет. Это значит, что общая прибыль за 5 лет должна покрыть затраты на строительство фабрики, которые составляют 80 млн рублей.
Прибыль фирмы за один год можно описать следующим уравнением:
\[ П = qx - (0,5x² + x + 146) \]
Упрощая это уравнение, получаем:
\[ П = qx - 0,5x² - x - 146 \]
Чтобы максимизировать прибыль, найдем производную по \( x \) и приравняем её к нулю:
\[ \frac{dП}{dx} = q - x - 1 = 0 \]
Отсюда выражаем \( x \):
\[ x = q - 1 \]
Теперь подставим это значение \( x \) обратно в уравнение прибыли:
\[ П = q(q - 1) - 0,5(q - 1)² - (q - 1) - 146 \]
Раскроем скобки:
\[ П = q^2 - q - 0,5(q^2 - 2q + 1) - (q - 1) - 146 \]
Упрощаем это выражение:
\[ П = q^2 - q - 0,5q^2 + q - 0,5 - q + 1 - 146 \] \[ П = 0,5q^2 - 145,5 \]
Теперь за 5 лет прибыль должна составить 80 млн рублей, то есть:
\[ 5П = 80 \]
Подставляем выражение для прибыли \( П \):
\[ 5(0,5q^2 - 145,5) = 80 \]
Решим это уравнение:
\[ 2,5q^2 - 727,5 = 80 \] \[ 2,5q^2 = 807,5 \] \[ q^2 = \frac{807,5}{2,5} = 323 \] \[ q = \sqrt{323} \approx 17,94 \]
Таким образом, чтобы строительство фабрики окупилось не более чем за 5 лет, цена \( q \) должна быть не менее approximately 17,94 тыс. рублей за единицу продукции.
