Из 115 студентов английский язык изучают 44 человека, немецкий - 50 человек, французский - 49, английский и немецкий - 13, английский и французский - 14, немецкий и французский -…
Из 115 студентов английский язык изучают 44 человека, немецкий - 50 человек, французский - 49, английский и немецкий - 13, английский и французский - 14, немецкий и французский - 12. Все три языка изучают 5 учащихся. сколько студентов изучают только один язык? Сколько студентов не изучают ни одного языка? решить кругами эллера
Для решения этой задачи с использованием кругов Эйлера, давайте обозначим количество студентов, изучающих каждый язык и их пересечения.
Обозначим:
- \( A \) - количество студентов, изучающих английский язык.
- \( B \) - количество студентов, изучающих немецкий язык.
- \( C \) - количество студентов, изучающих французский язык.
Данные по задаче:
- \( A = 44 \)
- \( B = 50 \)
- \( C = 49 \)
- \( A \cap B = 13 \) (изучают английский и немецкий)
- \( A \cap C = 14 \) (изучают английский и французский)
- \( B \cap C = 12 \) (изучают немецкий и французский)
- \( A \cap B \cap C = 5 \) (изучают все три языка)
Сначала найдем количество студентов, изучающих только два языка.
Студенты, изучающие только английский и немецкий: \[ A \cap B - A \cap B \cap C = 13 - 5 = 8 \]
Студенты, изучающие только английский и французский: \[ A \cap C - A \cap B \cap C = 14 - 5 = 9 \]
Студенты, изучающие только немецкий и французский: \[ B \cap C - A \cap B \cap C = 12 - 5 = 7 \]
Теперь найдем количество студентов, изучающих только один язык.
Студенты, изучающие только английский: \[ A - (A \cap B + A \cap C - A \cap B \cap C) = 44 - (13 + 14 - 5) = 44 - 22 = 22 \]
Студенты, изучающие только немецкий: \[ B - (A \cap B + B \cap C - A \cap B \cap C) = 50 - (13 + 12 - 5) = 50 - 20 = 30 \]
Студенты, изучающие только французский: \[ C - (A \cap C + B \cap C - A \cap B \cap C) = 49 - (14 + 12 - 5) = 49 - 21 = 28 \]
Теперь подведем итоги. Общее количество студентов, изучающих только один язык: \[ 22 \, (\text{только английский}) + 30 \, (\text{только немецкий}) + 28 \, (\text{только французский}) = 80 \]
Теперь найдем количество студентов, изучающих хотя бы один язык: \[ n(A \cup B \cup C) = A + B + C - (A \cap B + A \cap C + B \cap C) + A \cap B \cap C \] Подставляем значения: \[ n(A \cup B \cup C) = 44 + 50 + 49 - (13 + 14 + 12) + 5 = 44 + 50 + 49 - 39 + 5 = 109 \]
Теперь можно найти количество студентов, которые не изучают ни одного языка: \[ 115 - n(A \cup B \cup C) = 115 - 109 = 6 \]
Таким образом, ответим на вопросы:
- Количество студентов, изучающих только один язык: 80.
- Количество студентов, не изучающих ни одного языка: 6.
