\int\limits_{\scriptsize 2}^{\scriptsize 4}{\frac{x}{\sqrt{5+4}\,x^{2}}}{\;\mathrm{d}x}

Давайте решим данный интеграл:

\[ I = \int_{2}^{4} \frac{x}{\sqrt{5 + 4} x^{2}} \, \mathrm{d}x \]

Для начала упростим подынтегральное выражение. Мы видим, что \(\sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3\). Таким образом, интеграл можно переписать как:

\[ I = \int_{2}^{4} \frac{x}{3 x^{2}} \, \mathrm{d}x \]

Теперь упростим дробь:

\[ \frac{x}{3 x^{2}} = \frac{1}{3x} \]

Теперь интеграл становится:

\[ I = \int_{2}^{4} \frac{1}{3x} \, \mathrm{d}x \]

Теперь вынесем константу \( \frac{1}{3} \) за пределы интеграла:

\[ I = \frac{1}{3} \int_{2}^{4} \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x \]

Интеграл от \(\frac{1}{x}\) равен \(\ln |x|\):

\[ I = \frac{1}{3} [\ln |x|]_{2}^{4} \]

Теперь подставим пределы:

\[ I = \frac{1}{3} (\ln 4 - \ln 2) = \frac{1}{3} \ln \left( \frac{4}{2} \right) = \frac{1}{3} \ln 2 \]

Таким образом, окончательный ответ:

\[ I = \frac{1}{3} \ln 2 \]

Это и есть результат решения нашего интеграла. Если у вас есть дополнительные вопросы по данной теме, не стесняйтесь спрашивать!