2. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между скрещивающимися прямыми СС1 и DВ1
Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми \( CC_1 \) и \( DB_1 \) в кубе \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \), давайте сначала определим координаты точек в трехмерном пространстве.
Пусть координаты вершин куба будут следующими:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(1, 0, 0) \)
- \( C(1, 1, 0) \)
- \( D(0, 1, 0) \)
- \( A_1(0, 0, 1) \)
- \( B_1(1, 0, 1) \)
- \( C_1(1, 1, 1) \)
- \( D_1(0, 1, 1) \)
Теперь найдем векторы, направленные вдоль прямых \( CC_1 \) и \( DB_1 \):
Направляющий вектор прямой \( CC_1 \): \[ \overrightarrow{CC_1} = C_1 - C = (1, 1, 1) - (1, 1, 0) = (0, 0, 1) \]
Направляющий вектор прямой \( DB_1 \): \[ \overrightarrow{DB_1} = B_1 - D = (1, 0, 1) - (0, 1, 0) = (1, -1, 1) \]
Теперь для определения угла между этими двумя векторами, воспользуемся формулой для косинуса угла между двумя векторами:
\[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{CC_1} \cdot \overrightarrow{DB_1}}{|\overrightarrow{CC_1}| |\overrightarrow{DB_1}|} \]
Сначала найдем скалярное произведение векторов:
\[ \overrightarrow{CC_1} \cdot \overrightarrow{DB_1} = (0, 0, 1) \cdot (1, -1, 1) = 0 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 1 \]
Теперь найдем длины векторов:
\[ |\overrightarrow{CC_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1 \]
\[ |\overrightarrow{DB_1}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \]
Теперь подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:
\[ \cos \theta = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \]
Теперь найдем угол \( \theta \):
\[ \theta = \cos^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \]
Таким образом, угол между скрещивающимися прямыми \( CC_1 \) и \( DB_1 \) равен \( \theta \), что приблизительно равно \( 54.74^\circ \).
