|x-5| + |x-9| <=3
Чтобы решить неравенство |x-5| + |x-9| ≤ 3, сначала важно понять значение абсолютных значений и разбить задачу на отдельные случаи.
- Найдите критические точки: Критическими точками являются значения x, при которых аргументы абсолютных значений равны нулю. В нашем случае:
- x - 5 = 0 ⇒ x = 5
- x - 9 = 0 ⇒ x = 9
Таким образом, критические точки — это x = 5 и x = 9. Эти точки разделяют числовую прямую на три интервала:
- (-∞, 5)
- [5, 9]
- (9, ∞)
Рассмотрите каждый интервал:
Интервал 1: x < 5 Здесь |x-5| = 5-x и |x-9| = 9-x. Подставляем это в неравенство: \[ (5-x) + (9-x) ≤ 3 \] Упрощаем: \[ 14 - 2x ≤ 3 \] \[ -2x ≤ -11 \] \[ x ≥ \frac{11}{2} = 5.5 \] Но x < 5, так что этого решения нет в первом интервале.
Интервал 2: 5 ≤ x < 9 Здесь |x-5| = x-5 и |x-9| = 9-x. Подставляем это в неравенство: \[ (x-5) + (9-x) ≤ 3 \] Упрощаем: \[ 4 ≤ 3 \] Это неравенство неверно, значит, в этом интервале тоже нет решений.
Интервал 3: x ≥ 9 Здесь |x-5| = x-5 и |x-9| = x-9. Подставляем это в неравенство: \[ (x-5) + (x-9) ≤ 3 \] Упрощаем: \[ 2x - 14 ≤ 3 \] \[ 2x ≤ 17 \] \[ x ≤ 8.5 \] Однако, это противоречит условию x ≥ 9, поэтому решения в этом интервале также нет.
Итог: Мы рассмотрели все возможные интервалы и не нашли ни одного решения, которое удовлетворяло бы неравенству. Таким образом, неравенство |x-5| + |x-9| ≤ 3 не имеет решений.
