Реши уравнение с ОДЗ и дискриминантом :а) 7/x-3+1=18/x2 - 6x+9 б) 1/2x-1-13x-4/4x2-4x+1=4 в)2/x-5-4/x+5=3/x2-25

Давайте решим эти уравнения поочередно, определив область допустимых значений (ОДЗ) и дискриминант, если это необходимо.

a) \( \frac{7}{x-3} + 1 = \frac{18}{x^2 - 6x + 9} \)

1. ОДЗ: Чтобы определить область допустимых значений, нужно обратить внимание на знаменатели.

   • \( x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 \)
   • \( x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 \)

   Таким образом, ОДЗ: \( x \in \mathbb{R}, x \neq 3 \).

2. Приведение к общему знаменателю: Упрощаем уравнение: \[ \frac{7}{x-3} + 1 = \frac{18}{(x-3)^2} \] Тогда: \[ \frac{7 + (x-3)}{x-3} = \frac{18}{(x-3)^2} \] Умножая обе стороны на \( (x-3)^2 \): \[ (7 + x - 3)(x - 3) = 18 \] Упрощаем: \[ (x + 4)(x - 3) = 18 \] Раскрываем скобки: \[ x^2 + x - 12 = 0 \]

3. Дискриминант: Находим дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \). Таким образом, \( D > 0 \), значит есть два различных решения.

4. Корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 7}{2} = \{3, -4\} \]

   Оба корня: \( x = 3 \) (недопустимо) и \( x = -4 \). Таким образом, единственное решение:
   \( x = -4 \).

б) \( \frac{1}{2x-1} - \frac{13x - 4}{4x^2 - 4x + 1} = 4 \)

1. ОДЗ: Смотрим на знаменатели.

   • \( 2x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{2} \)
   • \( 4x^2 - 4x + 1 = (2x - 1)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{2} \)

   ОДЗ: \( x \in \mathbb{R}, x \neq \frac{1}{2} \).

2. Упрощение уравнения: Приведем уравнение к общему знаменателю: \[ \frac{1}{2x-1} - \frac{13x-4}{(2x-1)^2} = 4 \] Умножаем на \( (2x-1)^2 \): \[ (2x-1) - (13x - 4) = 4(2x-1)^2 \] Упрощаем: \[ 2x - 1 - 13x + 4 = 4(4x^2 - 4x + 1) \] Корректируем уравнение: \[ -11x + 3 = 16x^2 - 16x + 4 \] Переносим все в одну сторону: \[ 16x^2 - 5x + 1 = 0 \]

3. Дискриминант: \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 1 = 25 - 64 = -39 \]

   Поскольку дискриминант меньше нуля, решений нет.

в) \( \frac{2}{x-5} - \frac{4}{x+5} = \frac{3}{x^2-25} \)

1. ОДЗ: \( x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5 \) и \( x + 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5 \). Также \( x^2 - 25 = (x-5)(x+5) \neq 0 \); \( x \neq 5, -5 \).

   ОДЗ: \( x \in \mathbb{R}, x \neq 5, -5 \).

2. Упрощение уравнения: Умножаем все на \( (x-5)(x+5) \): \[ 2(x+5) - 4(x-5) = 3 \] Упрощаем: \[ 2x + 10 - 4x + 20 = 3 \] Объединяем подобные члены: \[ -2x + 30 = 3 \] Переносим: \[ -2x = 3 - 30 \Rightarrow -2x = -27 \Rightarrow x = \frac{27}{2} \]

3. Проверка на принадлежность к ОДЗ: \( x = \frac{27}{2} \) допустимо, так как \( x \neq 5 \) и \( x \neq -5 \).

Ответы: а) \( x = -4 \)
б) Нет решений
в) \( x = \frac{27}{2} \)