Вдоль координатной прямой прыгает заяц. За один прыжок он может переместиться на единичный отрезок в любую сторону. Сколько существует различных точек, на которых заяц может оказаться через 7 прыжков?

Заяц начинает с точки 0 и может прыгать на 1 единицу влево или вправо за один прыжок. При каждом прыжке количество возможных позиций изменяется.

После \( n \) прыжков заяц может оказаться на позиции \( k \), где \( k \) — это разность между количеством прыжков вправо (\( x \)) и количеством прыжков влево (\( y \)). В каждой комбинации \( x + y = n \), и \( k = x - y \). Из этого следует, что \( x = \frac{(n + k)}{2} \) и \( y = \frac{(n - k)}{2} \).

Чтобы обе переменные \( x \) и \( y \) были неотрицательными, \( n + k \) и \( n - k \) должны быть четными числами:

1. \( n + k \) должно быть четным: \( k \) должно иметь ту же четность, что и \( n \).
2. \( n - k \) должно быть четным: это также означает \( k \) должно быть четным при нечетном \( n \) и нечетным, если \( n \) четное.

Так как \( n = 7 \) (нечетное число), \( k \) тоже должно быть нечетным.

Теперь возможные значения \( k \):

• Наибольшее значение \( k \) после 7 прыжков — это 7 (при всех прыжках вправо).
• Минимальное значение \( k \) — это -7 (при всех прыжках влево).

Следовательно, все нечетные значения от -7 до 7 включительно являются возможными позициями для заяца:

• -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7

Итак, у нас имеется 8 возможных нечетных позиций.

Ответ: 8 различных точек.