В треугольнике ABC угол C=90`, BC=45, cos=8/17.Найдите AB

В треугольнике ABC, где угол C равен 90 градусам, мы имеем прямоугольный треугольник. Даны следующие значения:

• BC = 45 (противолежащая сторона к углу A)
• cos(A) = 8/17

Нам нужно найти длину стороны AB (гипотенузы).

Используя определение косинуса, мы знаем, что:

\[ \cos(A) = \frac{АД}{AB} \]

где AД – это прилежащая сторона к углу A, а AB – гипотенуза. Таким образом, можем выразить AB через AД:

\[ 8/17 = \frac{AD}{AB} \]

Отсюда получаем:

\[ AD = AB \cdot \frac{8}{17} \]

Теперь также воспользуемся теоремой Пифагора, которая говорит, что:

\[ AB^2 = BC^2 + AD^2 \]

Подставим известные значения:

\[ AB^2 = 45^2 + AD^2 \] \[ AD^2 = \left(AB \cdot \frac{8}{17}\right)^2 = AB^2 \cdot \frac{64}{289} \]

Теперь нам нужно подставить это выражение в уравнение Пифагора:

\[ AB^2 = 45^2 + AB^2 \cdot \frac{64}{289} \]

Запишем \( 45^2 \):

\[ AB^2 = 2025 + AB^2 \cdot \frac{64}{289} \]

Теперь приведём все к одной стороне:

\[ AB^2 - AB^2 \cdot \frac{64}{289} = 2025 \]

Вынесем \( AB^2 \) за скобки:

\[ AB^2 \left(1 - \frac{64}{289}\right) = 2025 \]

Упрощая, получаем:

\[ AB^2 \cdot \left(\frac{289 - 64}{289}\right) = 2025 \] \[ AB^2 \cdot \left(\frac{225}{289}\right) = 2025 \]

Теперь выразим \( AB^2 \):

\[ AB^2 = 2025 \cdot \frac{289}{225} \]

Вычислим \( 2025 \div 225 = 9 \):

\[ AB^2 = 9 \cdot 289 = 2601 \]

Теперь найдём AB:

\[ AB = \sqrt{2601} = 51 \]

Таким образом, длина гипотенузы AB равна 51.