(2x+5)(4x+3)(7-2x)(x-3)<0

Решим неравенство \((2x + 5)(4x + 3)(7 - 2x)(x - 3) < 0\).

1. Найдём нули каждого множителя:

• Для \(2x + 5 = 0 \Rightarrow 2x = -5 \Rightarrow x = -\frac{5}{2}\).
• Для \(4x + 3 = 0 \Rightarrow 4x = -3 \Rightarrow x = -\frac{3}{4}\).
• Для \(7 - 2x = 0 \Rightarrow 2x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{2}\).
• Для \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\).

Таким образом, нули: \(x = -\frac{5}{2}\), \(x = -\frac{3}{4}\), \(x = \frac{7}{2}\), \(x = 3\).

2. Определим знаки на промежутках, образованных этими нулями.

Нам нужно проверить знаки выражения в диапазонах:

• \( (-\infty, -\frac{5}{2}) \)
• \( (-\frac{5}{2}, -\frac{3}{4}) \)
• \( (-\frac{3}{4}, 3) \)
• \( (3, \frac{7}{2}) \)
• \( (\frac{7}{2}, +\infty) \)

3. Выберем тестовые точки:

• Для \(x = -3\) (первый интервал): \((2(-3) + 5)(4(-3) + 3)(7 - 2(-3))(((-3) - 3))\). Это будет положительно.

• Для \(x = -1\) (второй интервал): \((2(-1) + 5)(4(-1) + 3)(7 - 2(-1))((-1) - 3)\). Это будет отрицательно.

• Для \(x = 0\) (третий интервал): \((2(0) + 5)(4(0) + 3)(7 - 2(0))(0 - 3)\). Это будет положительно.

• Для \(x = 4\) (четвёртый интервал): \((2(4) + 5)(4(4) + 3)(7 - 2(4))(4 - 3)\). Это будет отрицательно.

• Для \(x = 5\) (пятый интервал): \((2(5) + 5)(4(5) + 3)(7 - 2(5))(5 - 3)\). Это будет положительно.

4. Соберём информацию о знаках:

• \((- \infty, -\frac{5}{2})\) — \(+\)
• \((- \frac{5}{2}, -\frac{3}{4})\) — \(-\)
• \((- \frac{3}{4}, 3)\) — \(+\)
• \((3, \frac{7}{2})\) — \(-\)
• \((\frac{7}{2}, +\infty)\) — \(+\)

5. Теперь можем записать решение неравенства:

Итак, наше неравенство \((2x + 5)(4x + 3)(7 - 2x)(x - 3) < 0\) выполняется на промежутках:

• \( (-\frac{5}{2}, -\frac{3}{4}) \)
• \( (3, \frac{7}{2}) \)

Таким образом, решением неравенства будут промежутки \(x \in (-\frac{5}{2}, -\frac{3}{4}) \cup (3, \frac{7}{2})\).