X^2≥-3x+4

Решим неравенство \( x^2 \geq -3x + 4 \).

1. Переносим все члены на одну сторону:

   \( x^2 + 3x - 4 \geq 0 \)

2. Находим корни квадратного уравнения \( x^2 + 3x - 4 = 0 \) с помощью дискриминанта. Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:

   \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \]

   Корни уравнения находятся по формуле:

   \[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{-3 \pm 5}}{{2}} \]

   Это дает два корня:

   \[ x_1 = \frac{{-3 + 5}}{{2}} = 1 \] \[ x_2 = \frac{{-3 - 5}}{{2}} = -4 \]

3. Затем, определяем знаки выражения \( x^2 + 3x - 4 \) на интервалах, образованных корнями:

   • Интервал \( (-\infty, -4) \)
   • Интервал \( (-4, 1) \)
   • Интервал \( (1, +\infty) \)

4. Проверяем знаки в каждой из этих областей:

   • Для \( x < -4 \) (например, \( x = -5 \)): \[ (-5)^2 + 3(-5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 \quad (\text{положительное}) \]
   • Для \( -4 < x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \[ 0^2 + 3(0) - 4 = -4 \quad (\text{отрицательное}) \]
   • Для \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \[ 2^2 + 3(2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 \quad (\text{положительное}) \]

5. Суммируя результаты, неравенство \( x^2 + 3x - 4 \geq 0 \) выполняется на интервалах:

   \[ x \in (-\infty, -4] \cup [1, +\infty) \]

Таким образом, решение неравенства:

\[ x \in (-\infty, -4] \cup [1, +\infty) \]