X^2-7x<6x-15-x^2

Давайте решим неравенство \( x^2 - 7x < 6x - 15 - x^2 \).

Сначала упростим неравенство. Переносим все члены на одну сторону:

\[ x^2 - 7x - 6x + 15 + x^2 < 0 \]

Это упрощается до:

\[ 2x^2 - 13x + 15 < 0 \]

Теперь мы можем решить неравенство, начиная с нахождения корней соответствующего уравнения \( 2x^2 - 13x + 15 = 0 \). Для этого воспользуемся формулой нахождения корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где \( a = 2 \), \( b = -13 \), и \( c = 15 \). Подставим эти значения в формулу:

\[ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 15 = 169 - 120 = 49 \]

Теперь находим корни:

\[ x = \frac{13 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{13 \pm 7}{4} \]

Это дает два решения:

1. \( x_1 = \frac{20}{4} = 5 \)
2. \( x_2 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)

Теперь у нас есть корни \( x = 5 \) и \( x = \frac{3}{2} \).

Следующий шаг - определить знаки функции \( 2x^2 - 13x + 15 \) на интервалах, определяемых корнями:

1. \( (-\infty, \frac{3}{2}) \)
2. \( \left(\frac{3}{2}, 5\right) \)
3. \( (5, +\infty) \)

Для этого можно выбрать тестовые значения из каждого интервала и подставить их в исходное неравенство.

• В интервале \( (-\infty, \frac{3}{2}) \) (например, \( x = 0 \)): \[ 2(0)^2 - 13(0) + 15 = 15 > 0 \]

• В интервале \( \left(\frac{3}{2}, 5\right) \) (например, \( x = 2 \)): \[ 2(2)^2 - 13(2) + 15 = 8 - 26 + 15 = -3 < 0 \]

• В интервале \( (5, +\infty) \) (например, \( x = 6 \)): \[ 2(6)^2 - 13(6) + 15 = 72 - 78 + 15 = 9 > 0 \]

Таким образом, функция принимает отрицательные значения только на интервале \( \left(\frac{3}{2}, 5\right) \).

Окончательный ответ:

\[ \frac{3}{2} < x < 5 \]

Это решение нашего неравенства \( x^2 - 7x < 6x - 15 - x^2 \).