Диагонали параллелограмма а БЦ Д пересекаются в точке о докажите что четырёхугольник а БЦ Д вершинами которого являются середины отрезков у а у БЦ а Ц Б Д параллелограмм

Для доказательства того, что четырехугольник \( M_1 M_2 M_3 M_4 \), вершинами которого являются середины отрезков \( AO \), \( BO \), \( CO \) и \( DO \) (где \( A, B, C, D \) - вершины параллелограмма), является параллелограммом, воспользуемся свойствами параллелограмма и средних линий.

1. Обозначим точки:

   • Пусть \( A, B, C, D \) - вершины параллелограмма.
   • Пусть \( O \) - точка пересечения диагоналей \( AC \) и \( BD \).
   • Обозначим середины отрезков:
     • \( M_1 \) - середина отрезка \( AO \),
     • \( M_2 \) - середина отрезка \( BO \),
     • \( M_3 \) - середина отрезка \( CO \),
     • \( M_4 \) - середина отрезка \( DO \).

2. Свойства параллелограмма:

   • В параллелограмме диагонали пересекаются и делят друг друга пополам. То есть: \[ AO = OC \quad и \quad BO = OD \] Из этого следует, что \( AO = OC \) и \( BO = OD \), так как \( O \) - середина диагоналей.

3. Координаты средних точек:

   • Тогда координаты точек можно выразить как:
     • \( M_1 = \left(\frac{A + O}{2}\right), \quad M_2 = \left(\frac{B + O}{2}\right) \)
     • \( M_3 = \left(\frac{C + O}{2}\right), \quad M_4 = \left(\frac{D + O}{2}\right) \)

4. Показать, что \( M_1 M_3 \) и \( M_2 M_4 \) параллельны:

   • Векторы \( M_1 M_3 \) и \( M_2 M_4 \): \[ M_1 M_3 = M_3 - M_1 = \left(\frac{C + O}{2} - \frac{A + O}{2}\right) = \frac{C - A}{2} \] \[ M_2 M_4 = M_4 - M_2 = \left(\frac{D + O}{2} - \frac{B + O}{2}\right) = \frac{D - B}{2} \]

5. Доказать, что эти векторы равны и посчитать их:

   • Векторы \( C - A \) и \( D - B \) равны, так как их соответствующие стороны в параллелограмме равны и параллельны. Таким образом: \[ M_1 M_3 \parallel M_2 M_4 \] Так, \( M_1 M_3 \) и \( M_2 M_4 \) являются параллельными.

6. Сравнить длины:

   • Так как по определению средней линии, отрезки проведенные к параллельным сторонам равны, следовательно, \( M_1 M_3 \) равен по длине \( M_2 M_4 \).

Таким образом, четырехугольник \( M_1 M_2 M_3 M_4 \) имеет две пары параллельных и равных сторон, что подтверждает, что он является параллелограммом.

Значит, четырехугольник, вершинами которого являются середины отрезков \( AO, BO, CO, DO \), действительно является параллелограммом.