Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O докажите что четырёхугольник ABCD вершинами которого являются середины отрезков OA, OB, OC, и OD параллелограмм

Давайте обозначим середины отрезков OA, OB, OC и OD как M, N, P и Q соответственно. То есть:

• M — середина отрезка OA,
• N — середина отрезка OB,
• P — середина отрезка OC,
• Q — середина отрезка OD.

Чтобы доказать, что четырехугольник MNPQ является параллелограммом, нам нужно показать, что его противоположные стороны равны и параллельны.

1. Координаты точек: Пусть A, B, C и D обозначают вершины параллелограмма ABCD. Обозначим координаты точек A, B, C и D следующим образом:

   • A(x_a, y_a)
   • B(x_b, y_b)
   • C(x_c, y_c)
   • D(x_d, y_d)

   Поскольку ABCD — параллелограмм, его вершины удовлетворяют следующему условию: \[ \vec{AB} = \vec{CD} \quad \text{и} \quad \vec{AD} = \vec{BC} \] Это означает, что: \[ (x_b - x_a, y_b - y_a) = (x_d - x_c, y_d - y_c) \]

2. Координаты точек M, N, P и Q: Теперь мы можем найти координаты точек M, N, P и Q: \[ M\left(\frac{x_a + x_o}{2}, \frac{y_a + y_o}{2}\right), \quad N\left(\frac{x_b + x_o}{2}, \frac{y_b + y_o}{2}\right), \quad P\left(\frac{x_c + x_o}{2}, \frac{y_c + y_o}{2}\right), \quad Q\left(\frac{x_d + x_o}{2}, \frac{y_d + y_o}{2}\right) \]

3. Векторы MN и PQ: Теперь найдем векторы MN и PQ: \[ \vec{MN} = N - M = \left(\frac{x_b - x_a}{2}, \frac{y_b - y_a}{2}\right) \] \[ \vec{PQ} = Q - P = \left(\frac{x_d - x_c}{2}, \frac{y_d - y_c}{2}\right) \]

4. Проверка параллельности MN и PQ: Поскольку параллелограмм ABCD является параллелограммом, то: \[ x_b - x_a = x_d - x_c \quad \text{и} \quad y_b - y_a = y_d - y_c \] Это означает, что векторы MN и PQ равны: \[ \vec{MN} = \vec{PQ} \]

5. Векторы MP и NQ: Теперь найдем векторы MP и NQ: \[ \vec{MP} = P - M = \left(\frac{x_c - x_a}{2}, \frac{y_c - y_a}{2}\right) \] \[ \vec{NQ} = Q - N = \left(\frac{x_d - x_b}{2}, \frac{y_d - y_b}{2}\right) \]

6. Проверка параллельности MP и NQ: По свойствам параллелограмма: \[ x_d - x_b = x_c - x_a \quad \text{и} \quad y_d - y_b = y_c - y_a \] Это также означает, что векторы MP и NQ равны: \[ \vec{MP} = \vec{NQ} \]

Таким образом, мы доказали, что противоположные стороны четырехугольника MNPQ равны и параллельны, следовательно, четырехугольник MNPQ является параллелограммом.