найти 5 sin а - 2 cos а/3 cos а + 8 sin а, если ctg а = 3

Для решения выражения \( \frac{5 \sin a - 2 \cos a}{3 \cos a + 8 \sin a} \) при условии, что \( \cot a = 3 \), начнем с того, что \( \cot a = \frac{\cos a}{\sin a} \). Это значит, что \( \cos a = 3 \sin a \).

Теперь подставим это соотношение в выражение. Для начала выразим \( \sin a \) и \( \cos a \):

Пусть \( \sin a = y \). Тогда \( \cos a = 3y \).

Используя основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \), подставим:

\[ y^2 + (3y)^2 = 1 \\ y^2 + 9y^2 = 1 \\ 10y^2 = 1 \\ y^2 = \frac{1}{10} \\ y = \frac{1}{\sqrt{10}} \quad (\text{поскольку } y = \sin a \text{ не может быть отрицательным}) \]

Следовательно,

\[ \sin a = \frac{1}{\sqrt{10}} \quad \text{и} \quad \cos a = 3 \sin a = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}. \]

Теперь подставим значения \( \sin a \) и \( \cos a \) в наше выражение:

\[ \frac{5 \sin a - 2 \cos a}{3 \cos a + 8 \sin a} = \frac{5 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} - 2 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}}}{3 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} + 8 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}. \]

Упростим числитель и знаменатель:

Числитель: \[ 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} - 2 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{5 - 6}{\sqrt{10}} = \frac{-1}{\sqrt{10}}. \]

Знаменатель: \[ 3 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} + 8 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{9}{\sqrt{10}} + \frac{8}{\sqrt{10}} = \frac{17}{\sqrt{10}}. \]

Теперь подставим обратно в нашу дробь:

\[ \frac{\frac{-1}{\sqrt{10}}}{\frac{17}{\sqrt{10}}} = \frac{-1}{17}. \]

Таким образом, окончательный ответ:

\[ \frac{5 \sin a - 2 \cos a}{3 \cos a + 8 \sin a} = -\frac{1}{17}. \]