Радио задумал четерёхначное число. Оно обладает следующими свойствами: 1) делиться без остатка на 5, 2) цифра сотен в два раза меньше, чем цифра десятков, 3) сумма первой и…

Давайте вместе разберёмся с этой задачей!

Нам нужно найти четерёхзначное число \( ABCD \), где:

• \( A \) — цифра в разряде тысяч,
• \( B \) — цифра в разряде сотен,
• \( C \) — цифра в разряде десятков,
• \( D \) — цифра в разряде единиц.

Теперь рассмотрим свойства числа по очереди.

1. Делится на 5: Это означает, что последняя цифра, \( D \), может быть только 0 или 5. Для четерёхзначного числа, вероятнее всего, \( D = 0 \), так как \( D = 5\) будет затруднять выполнение остальных условий.

2. Цифра сотен в два раза меньше цифры десятков: Это можно записать как \( B = \frac{C}{2} \). Следовательно, \( C \) должна быть четной цифрой (0, 2, 4, 6, 8).

3. Сумма первой и последней цифры в 4 раза меньше двузначного числа, образованного второй и третьей цифрами: Это можно записать как \( A + D = \frac{1}{4} (10B + C) \). Поскольку \( D = 0 \), выражение упрощается до \( A = \frac{1}{4} (10B + C) \).

4. Цифра в разряде тысяч больше цифры в разряде сотен на 4: Это означает \( A = B + 4 \).

Теперь подставим все условия в одно уравнение.

Начнем с условия о числе:

1. \( A + D = A + 0 = A \)
2. Подставляя \( A = B + 4 \) в уравнение: \[ B + 4 = \frac{1}{4} (10B + C) \] Умножим обе стороны на 4: \[ 4B + 16 = 10B + C \] Приведем подобные члены: \[ 16 = 10B - 4B + C \] \[ 16 = 6B + C \] То есть, \( C = 16 - 6B \).

Теперь подставим \( C \) в уравнение \( B = \frac{C}{2} \): \[ B = \frac{1}{2}(16 - 6B) \] Умножим обе стороны на 2: \[ 2B = 16 - 6B \] Добавим \( 6B \) к обеим сторонам: \[ 8B = 16 \] Таким образом, \( B = 2 \). Подставим \( B \) обратно, чтобы найти \( C \): \[ C = 16 - 6 \cdot 2 = 16 - 12 = 4 \] Теперь найдем \( A \): \[ A = B + 4 = 2 + 4 = 6 \] Теперь у нас есть все цифры:

• \( A = 6 \)
• \( B = 2 \)
• \( C = 4 \)
• \( D = 0 \)

Таким образом, задуманное число — это 6240.

Проверьте все условия:

1. 6240 делится на 5 (да).
2. Цифра сотен (2) в два раза меньше, чем цифра десятков (4) (да).
3. Сумма первой (6) и последней (0) цифры = 6, двузначное число из второй (2) и третьей (4) цифр = 24, и 6 = 1/4 * 24 (да).
4. Цифра в разряде тысяч (6) больше цифры в разряде сотен (2) на 4 (да).

Все условия выполнены, и ответ — 6240.