sin2x/sin(3pi/2-x)=√2

Давайте решим уравнение \( \frac{\sin 2x}{\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)} = \sqrt{2} \).

Во-первых, упростим значение \( \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) \). Используя тригонометрические идентичности, мы знаем, что:

\[ \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\cos x \]

Теперь подставим это в уравнение:

\[ \frac{\sin 2x}{-\cos x} = \sqrt{2} \]

Умножим обе стороны уравнения на \(-\cos x\) (учитывая, что \(\cos x \neq 0\)):

\[ \sin 2x = -\sqrt{2} \cos x \]

Согласно формуле для двойного угла, \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \), подставим это в уравнение:

\[ 2 \sin x \cos x = -\sqrt{2} \cos x \]

Если \(\cos x \neq 0\), можно разделить обе стороны на \(\cos x\):

\[ 2 \sin x = -\sqrt{2} \]

Теперь найдем значение \(\sin x\):

\[ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

Значение \(\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) имеет решения:

\[ x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Кроме этого, мы также должны учитывать случай, когда \(\cos x = 0\), что дает:

\[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Таким образом, все решения уравнения будут включать оба случая. Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме или другим аспектам тригонометрии, не стесняйтесь спрашивать!